Cierta propiedad del campo finito $F_p$

Question

Dejemos que $F_p$ sea un campo finito de orden $p$ donde $p$ es un número primo. Sea $\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_{p-1} \}$ sea un conjunto múltiple con $\alpha_i \in F_p$ y cada $\alpha_i$ no es cero.

Quiero demostrar que $$\sum_{i\in K} \alpha_i = -1$$ para algún subconjunto $K \subseteq \{1,\ldots, p-1\}$ .

Estoy atascado en esto. Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

A continuación se ofrecen algunas pistas, sin desvelar la solución completa:

Pista 1. Nótese que en realidad no se trata de una pregunta sobre campos; la misma pregunta podría plantearse para cualquier grupo cíclico finito $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ . Sin embargo, te digo ahora que el resultado depende crucialmente de la suposición de que $p$ es primo. (Por ejemplo, en $\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ ningún subconjunto del multiconjunto $\{2,2,2\}$ se suma a $-1$ .) ¿Qué propiedad teórica de grupo $\mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ tienen que un general $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ ¿no?

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Pista 2. No hay nada especial en $-1$ la misma conclusión es válida para cualquier otro elemento no nulo de $F_p$ .

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Pista 3. Por cada $k \in \{0,\ldots,p-1\}$ , dejemos que $S_k \subseteq F_p$ denotan el conjunto de todas las sumas parciales que utilizan sólo la primera $k$ números. En otras palabras, definir $$ S_k := \left\{\sum_{i\in K} a_i \, : \, K \subseteq \{1,\ldots,k\}\right\}, $$ por lo que tenemos $S_0 = \{0\}$ , $S_1 = \{0,a_1\}$ , $S_2 = \{0,a_1,a_2,a_1+a_2\}$ etc. Demostrar que estos conjuntos crecen lo suficientemente rápido. (Por supuesto, la cardinalidad de $S_k$ es como máximo $2^k$ pero típicamente menos ya que diferentes expresiones pueden sumar el mismo valor).

Answer 2

• Dado que cualquier elemento $\alpha \in \mathbf{F}_p^*$ genera $(\mathbf{F}_p,+)$ el único subconjunto $S \subset \mathbf{F}_p$ tal que $S= S \cup (\alpha+S) \bmod p$ es $\mathbf{F}_p$ .

• Si todos los $\alpha_i$ son el mismo elemento $\alpha$ , toma $b \equiv -\alpha^{-1} \bmod p$ para que $\sum_{i=1}^b \alpha_i = -1$ .

• De lo contrario, wlog. $\alpha_1 \ne \alpha_2$ para que $S_2 = \{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2\}$ contiene $3$ elementos, y $S_{i+1} = S_i \cup ( \alpha_{i+1}+S_i) $ contiene al menos $i+2$ elementos, por lo tanto $S_{p-1}$ contiene $-1$ .