No hay una manera obvia de hacerlo y después de varios intentos sospecho que la respuesta es no, pero no veo cómo lo demostraría. ¿La razón es que CxC es cuatridimensional?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se puede pasar a una dimensión superior, pero se pierden algunas propiedades de un campo. Se obtienen los cuaterniones (denotados $\mathbb{H}$ ), pero ya no es un campo, sino un campo sesgado: no es conmutativo.
Tal vez el siguiente teorema de Frobenius sea revelador en este caso:
Dejemos que $\mathcal{A}\neq 0$ sea un álgebra real cuadrática asociativa sin divisores cero, entonces hay tres y sólo tres posibilidades 1. $\mathcal{A}\cong \mathbb{R}$ 2. $\mathcal{A}\cong \mathbb{C}$ 3. $\mathcal{A}\cong \mathbb{H}$
Se puede ir más allá hasta los octonianos(8 dimensiones $\mathbb{R}$ álgebra), pero se pierde la asociatividad. Sólo se obtiene un álgebra de división alternativa.
Creo que esto es lo más lejos que puedes llegar si quieres una división de álgebra.(¿o hay alguna otra restricción? Lo siento, no soy un experto aquí, así que si he afirmado algo incorrecto pls comentario)
Si te interesa este tema te recomiendo el libro ${\it Numbers}$ por Ebbinghaus(y otros)
