Teorema sobre los anillos cotizados módulo un ideal

Question

Tengo que demostrar el siguiente teorema:

Sea R un anillo, I uno de sus ideales de dos lados y : R R/I, la la proyección canónica. Entonces

• S subringa (ideal) de R (S) = (S + I)/I es una subringa (ideal) de R/I;

• S subringa (ideal) de R/I 1 (S') es un subring (ideal) de R que contiene a I.

El mapa $\pi$ es $r r + I$ con $r \in R$ Así que teniendo en cuenta $s s + I$ con $s \in S$ debería seguir S + I R + I, ya que S R.

Pero estoy confundido sobre por qué $\pi(S) = (S + I)/I$ y no $\pi(S) = S/I$ .

Answer 1

Sí $S+ I\subset R+I$ (ya que los cosets de S en I serán ciertamente todos cosets de R en I). Yo sólo consideraría ese homomorfismo de anillo $\pi:S\to \pi(S)$ . Si demostramos que el núcleo de este homomorfismo es $S\cap I$ entonces hemos terminado por el primer teorema de isomorfismo (ya que $S/(S\cap I) \cong (S+I)/I$ ).