Número de extensiones de campo de $\mathbb{Q}_p$

Question

Si conozco el índice $(\mathbb{Q}_p^{\times} : (\mathbb{Q}_p^{\times})^n)$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ ¿es posible saber cuántas extensiones de campo de $\mathbb{Q}_p$ de grado $n$ ¿lo hay?

Esto parece funcionar para $n=2$ . No estoy seguro en general. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Este índice es muy fácil de calcular, ya que $\mathbf Q_p^\times \cong \mathbf Z \times \mathbf Z_p^\times \cong \mathbf Z \times \mathbf F_p^\times \times \mathbf Z_p$ . Así que también podrías preguntar cuántas extensiones de un grado determinado $\mathbf Q_p$ tiene, sin ninguna suposición sobre lo que se sabe.

La respuesta es, en general, bastante difícil. No conozco ninguna fórmula sencilla. Si estás dispuesto a contar las extensiones con pesos diferentes a $1$ Hay una muy buena fórmula de masa de Serre que puede encontrar buscando en la literatura.

Extensiones abelianas de $\mathbf Q_p$ son más fáciles de contar, utilizando el isomorfismo de reciprocidad de Artin de la teoría local de campos de clases. Por eso funciona bien para $n=2$ . Quizá quieras empezar por ahí.

Por lo demás, la cuestión es mucho más difícil. El grupo de Galois absoluto de $\mathbf Q_p$ es toda una bestia (aunque mucho menos que el grupo de Galois de $\mathbf Q$ ).