prueba de un resultado de recuento útil en la teoría de grupos

Question

¡Sea G un grupo finito, H un subgrupo de G que satisface |G| || [G : H]! Demostrar que existe un subgrupo normal N de G que satisface 1 < N H.

tal vez el Teorema General de Cayley funcione. No estoy seguro. Parece que requiere una demostración complicada. ¿Alguna idea?

Answer 1

Considere la acción de $G$ en los cosets de la izquierda de $H$ . Esta acción proporciona un homomorfismo de $G$ al grupo simétrico de orden $[G:H]!$ . El núcleo de este homomorfismo se denomina núcleo de $H$ y es el mayor subgrupo normal contenido por $H$ .

Obsérvese que el orden de la imagen de este homomorfismo es un divisor de $[G:H]!$ Llama a esta orden $m$ . Así que por el primer teorema de isomorfismo $\frac{|G|}{|N|}=m$ . No podemos tener $|N|=1$ ya que de lo contrario $|G|=m$ y luego el orden de $G$ divide $[G:H]!$