Encontrar el cúbico con la proporción áurea como raíz

Question

Quiero encontrar una cúbica tal que cumpla los siguientes criterios:

• Tiene la proporción áurea como única raíz real
• Tiene coeficientes integrales
• Tiene un coeficiente principal de $1$ y un coeficiente final de $-1$ (esto significa que las raíces imaginarias tienen un valor absoluto de $\frac{1}{\sqrt{\phi}}$ )

¿Existe ese cubo?

Answer 1

Si los coeficientes son racionales y $\dfrac{1+\sqrt 5} 2$ es una raíz, entonces $\dfrac{1-\sqrt 5} 2$ es una raíz.

Para ver esto, suponga que sustituye $\dfrac{1+\sqrt 5} 2$ para $x$ y obtener $0$ . ¿Qué pasaría entonces si se sustituye $\dfrac{1-\sqrt 5} 2$ para $x$ ? Al ampliar $x^2$ y $x^3$ entonces, dondequiera que $\sqrt 5$ aparece, $-\sqrt 5$ aparecerá, y viceversa. No obtendrá $0$ a menos que el coeficiente de $\sqrt 5$ en el total termina siendo $0$ . Si intercambias $\pm\sqrt 5$ entonces en lugar de $0$ se obtiene $-0$ pero $-0$ es $0$ .

El hecho de que $\sqrt 5$ es irracional es esencial aquí. Supongamos que $\sqrt 5$ eran el número racional $38/17$ . Entonces $17x-38$ sería un polinomio con coeficientes enteros que tiene $\sqrt 5$ como raíz. El argumento del párrafo anterior supone que el radical no puede desaparecer así.

Esto es muy parecido a la prueba de que si los coeficientes son real y $a+bi$ es una raíz, donde $a$ y $b$ son reales, entonces $a-bi$ también es una raíz.

Answer 2

No existe tal cúbico.

La proporción áurea es una raíz de la cuadrática $q(x)=x^2-x-1$ .

Si la proporción áurea es una raíz de un cubo $p(x)$ entonces debe ser la raíz del resto de $p(x)$ cuando se divide por $q(x)$ . Ese resto tiene coeficientes enteros y es cero o tiene grado $1$ . Pero la proporción áurea no es una raíz de polinomio de grado $1$ con coeficientes enteros porque es irracional. Por tanto, el resto es cero y el cúbico debe tener al menos dos raíces reales: las de $q(x)$ .

Tenga en cuenta que la tercera condición de la pregunta no se utiliza en este argumento.

Answer 3

Dadas las condiciones suficientes, se puede encontrar el cúbico.

La cúbica que satisface sus condiciones (aún no la segunda) es $$(x-\phi)\left(x-\frac{1}{\sqrt{\phi}}i\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{\phi}}i\right)=0$$ Ampliarlo da, $$x^3-\phi x^2 + \frac{1}{\phi}x-1=0$$ Obviamente, los coeficientes no son integrales. Por lo tanto, tal cúbica no existe.

Answer 4

Pista: La proporción áurea satisface $p^2=p+1, p^3=p^2+p=2p+1$ . Así que el cúbico debe tener $(2p+1)+a(p+1)+bp-1=0$ lo que implica $p$ es racional.

Answer 5

No existe.

Si lo hace, que sea $f=(x-\phi)(x^2+ax+b)$

Desde $(-\phi)b=-1$ Así que $f=(x-\phi)(x^2+ax+\frac{1}{\phi})=x^3+(a-\phi)x^2+(\frac{1}{\phi}-a\phi)x-1$

definir $n=a-\phi$ Así que $a=n+\phi$ Así que $\frac{1}{\phi}-a\phi=\frac{1}{\phi}-(n+\phi)\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-n\frac{\sqrt{5}-1}{2}-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=(\sqrt{5}-1)(1-\frac{n}{2})$ sólo es un número entero cuando $n=2$ Así que $\space f=x^3+2x^2-1$ .

Sin embargo, $x^3+2x^2-1$ tiene 3 raíces reales. Así que tal $f$ no existe.