¿De qué se toma el determinante funcional para calcular la acción efectiva en el método del campo de fondo?

Question

Tengo algunos apuntes esquemáticos sobre el cálculo de la acción efectiva y me gustaría que alguien me ayudara a rellenar los huecos.

Comenzamos con \begin{equation*} \int{}\mathcal{D}\phi\,e^{-iS[\phi]} \end{equation*} empleando el método del campo de fondo escribimos \begin{equation*} \phi=\phi_0+\Delta\phi \end{equation*} por lo que tenemos \begin{equation*} \int{}\mathcal{D}(\Delta\phi)\,e^{-iS[\phi_0+\Delta\phi]} \end{equation*} Taylor se expande alrededor de $\phi_0$

$$S[\phi_0+\Delta\phi]=S[\phi_0]+\int{}d^4x_1\,\frac{\delta{}S}{\delta\phi(x_1)}\Delta\phi(x_1)$$ $$+\frac{1}{2}\int{}d^4x_1d^4x_2\frac{\delta^2S}{\delta\phi(x_1)\delta\phi(x_2)}\Delta\phi(x_1)\Delta\phi(x_2)+$$ $$\frac{1}{3!}\int{}d^4x_1d^4x_2d^4x_3\frac{\delta^3S}{\delta\phi(x_1)\delta\phi(x_2)\delta\phi(x_3)}\Delta\phi(x_1)\Delta\phi(x_2)\Delta\phi(x_3)+\ldots$$ desde $\phi_0$ satisface las ecuaciones de movimiento el término lineal en $\Delta\phi$ desaparece. Entonces tenemos

$$e^{-iS[\phi_0]}\int{}\mathcal{D}(\Delta\phi)e^{-i\frac{1}{2}\int{}d^4x_1d^4x_2\frac{\delta^2S}{\delta\phi(x_1)\delta\phi(x_2)}\Delta\phi(x_1)\Delta\phi(x_2)+\ldots}$$

a partir de aquí mis notas descuidan los términos cúbico, cuártico... en $\Delta\phi$ . ¿Alguien puede decirme por qué?

Además, después de esto está escrito $$e^{-iS[\phi_0]}det(\ldots)$$ donde los puntos representan (creo) un determinante funcional de algo. ¿Puede alguien decirme qué va dentro del determinante, y de dónde viene esto?

Answer 1

1)Descuidan los poderes superiores de $\Delta \phi$ porque esta acción efectiva describe la dinámica de las fluctuaciones $\Delta \phi$ sobre los campos de fondo $\phi_0$ . A saber: $\Delta \phi$ es pequeño

2)Como sabes \begin{equation} \int d^n r\, e^{-r_i A_{ij}r_j}=\frac {(2\pi)^{n/2}}{(\mbox{det}\, A)^{1/2}}, \end{equation} donde $A$ es una matriz con valores propios positivos. Se puede demostrar esta fórmula reescribiendo $A$ en base diagonal. Así que $-1/2$ poder del determinante.

Si su espacio objetivo es real, entonces la integral funcional es sólo un límite: \begin{equation} \lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^{N} \int d^k \phi\, e^{-\phi_i A_{ij}\phi_j} \end{equation} La única razón por la que se puede obtener la primera potencia del determinante es si se trabaja con variables fermiónicas (Grassman). Haga clic en aquí para los detalles. Para decir algo más se necesita la forma real de la acción. Sugiero discretizar tu integral funcional y calcular el determinante de una matriz (será una función de $N$ ). Limite $N\to \infty$ debería darte la respuesta.