tiempo esperado de un proceso de Poisson tiempo exponencial

Question

Un niño cuenta los coches que pasan por una determinada calle según un proceso de Poisson de tasa . Cuando pasa una determinada unidad de tiempo sin que llegue ningún coche, se aburre y se va.

(a) ¿Cuánto tiempo pasa allí de media? Pista: Condiciona el tiempo del primer coche.

(b) ¿Cuántos coches ha contado de media?

No estoy seguro de cómo enfocar la pregunta a), hasta ahora tengo algo así: $s_i$ es el tiempo que tarda el $i$ -a que ocurra el evento y tiene una propiedad sin memoria. $\alpha P(s_1>\alpha) + E[(s_1+\alpha \mid s_1<\alpha)]+E[(s_2+\alpha \mid s_2<\alpha)]+\cdots$ y creo que esto convergerá a algún valor finito, sin embargo no estoy seguro de que este enfoque sea la forma correcta de hacerlo.

para la parte b) lo hice: $\sum^\infty_{k=0} k P(T_{k+1}>\alpha)P(T_k<\alpha)\cdots P(T_1<\alpha)$ que será $k$ por una serie geométrica por $P(T_{k+1}>\alpha)$ pero el problema que encontré es que después de escribir la serie geométrica y hacer la multiplicación mi respuesta a la pregunta es $k.$ Hice esto: $P(T_{k+1}>\alpha)\frac{k}{e^{-\lambda \alpha}} = e^{-\lambda \alpha} \frac{k}{e^{-\lambda \alpha}}$ , $e^{-\lambda \alpha}$ se anula y me deja $k$ , lo cual sé que es definitivamente incorrecto, pero no estoy seguro de cómo enfocaría esta cuestión de manera diferente.

Answer 1

Necesitaremos conocer el condicional hora prevista de llegada del primer coche dado que al menos un coche llegue antes de tiempo $\alpha.$

Dejemos que $S$ es la hora de llegada del primer coche, por lo que $\operatorname E S = 1/\lambda.$

Tenemos $\Pr(S>t) = e^{-\lambda t}$ (para $t\ge0$ ).

Por lo tanto, $\Pr(S>t\mid S<\alpha) = \dfrac{\Pr(t<S<\alpha)}{\Pr(S<\alpha)} = \dfrac{e^{-\lambda t} - e^{-\lambda\alpha}}{1-e^{-\lambda\alpha}}.$

De aquí obtenemos la distribución condicional $$ f_{S\,\mid\,S\,<\,\alpha} (t) \, dt = \left(-\frac d {dt}\, \frac{e^{-\lambda t} - e^{-\lambda\alpha}}{1-e^{-\lambda\alpha}} \right) dt = \frac{e^{-\lambda t}}{1-e^{-\lambda\alpha}} (\lambda\,dt) \quad \text{for } 0<t<\alpha, $$ y de ahí obtenemos el valor esperado condicional: $$ \operatorname E(S\mid S<\alpha) = \int_0^\alpha t \, \frac{e^{-\lambda t}}{1-e^{-\lambda\alpha}} (\lambda \, dt) = \frac 1 \lambda \cdot \frac{1-e^{-\lambda\alpha}- \lambda\alpha e^{-\lambda\alpha}}{1-e^{-\lambda\alpha}}. $$

El niño cuenta los coches hasta un intervalo de longitud $\alpha$ aparece sin coches.

Dejemos que $\beta$ sea el tiempo medio de permanencia del niño. Sea $T$ sea el tiempo total que el niño está allí.

Entonces \begin{align} \beta & = \operatorname ET = \operatorname E(T\mid S>\alpha) \Pr(S>\alpha) + \operatorname E(T\mid S<\alpha) \Pr(S<\alpha) \\[10pt] & = \alpha \Pr(S>\alpha) + \operatorname E(T + S\mid S<\alpha) \Pr(S<\alpha) \\[10pt] & = \alpha\Pr(S>\alpha) + \Big( \operatorname E(T) + \operatorname E(S\mid S<\alpha) \Big) \Pr(S<\alpha) \\[10pt] & = \alpha\Pr(S>\alpha) + \Big( \beta + \operatorname E(S\mid S<\alpha) \Big) \Pr(S<\alpha). \end{align}

Dado que sabemos cómo expresar $\Pr(S>\alpha),$ $\Pr(S>\alpha),$ y $\operatorname E(S\mid S<\alpha)$ como funciones de $\alpha$ y $\lambda,$ podemos sustituir las funciones de $\alpha$ y $\lambda$ en esa última línea, y entonces tenemos una ecuación algebraica que se puede resolver para $\beta$ en función de $\alpha$ y $\lambda.$

Tengo $\displaystyle \beta = \alpha + \frac 1 \lambda\left( 1 - e^{-\lambda\alpha} - \lambda\alpha e^{-\lambda\alpha} \right).$