Prueba de verificación del lema 2.2.10 en Tao

Question

Mi objetivo es demostrar lo siguiente.

Lema 2.2.10 . Sea $a$ sea un número positivo. Entonces existe exactamente un número natural $b$ tal que $b{+\!+} = a$ .

Yo uso lo siguiente.

Definición 2.2.1 (Suma de números naturales). Sea $m$ sea un número natural. Para añadir un cero a $m$ definimos $0 + m := m$ . Supongamos ahora, de forma inductiva, que hemos definido cómo sumar $n$ a $m$ . Entonces podemos añadir $n{+\!+}$ a $m$ definiendo $(n{+\!+}) + m := (n + m){+\!+}$ .

Propuesta 2.2.6 (Ley de anulación). Deja $a, b, c$ sean números naturales tales que $a + b = a + c$ . Entonces tenemos $b = c$ .

Axioma 2.4 . Diferentes números naturales deben tener diferentes sucesores; es decir, si $n, m$ son números naturales y $n \neq m$ entonces $n{+\!+} \neq m{+\!+}$ . De forma equivalente, si $n{+\!+} = m{+\!+}$ , entonces debemos tener $n = m$ .

Tao sugirió el uso de la inducción, por lo que estoy dudando de la validez de mi prueba.

Prueba: Se procede por contradicción. Supongamos que tenemos $2$ números naturales diferentes $b$ y $c$ , de tal manera que $b{+\!+} = a$ y $c{+\!+} = a$ . Entonces tenemos $b{+\!+} = 0 + b{+\!+}$ y $c{+\!+} = 0 + c{+\!+}$ (definición de adición). Entonces tenemos que $0 + b{+\!+} = 0 + c{+\!+}$ pero luego $b{+\!+} = c{+\!+}$ (Ley de Anulación). Esto es una contradicción debido a Axioma 2.4 .

Estoy estudiando por mi cuenta el análisis real, por lo que quiero asegurarme de que estoy procediendo correctamente.

Answer 1

Ha demostrado la singularidad. También tienes que demostrar la existencia de tal $b$ .

Para ello, hay que tener en cuenta la afirmación $$P(a)\equiv \text{ there exists a } b \text{ such that } b\!+\!\!+=a \text{ whenever } a\ne0$$ porque $a$ es positivo . A continuación, inducir en $a$ .

Nótese que en cierto paso, la afirmación es vacuamente cierta.

Tenemos que demostrar $$a\ne0\implies\exists b\in\mathbf N,\;\;b\!+\!\!+=a.$$ Por lo tanto, inducimos en $a$ . El caso base $a=0$ es una verdad vacía. Ahora supongamos inductivamente que la afirmación es verdadera para $a$ necesitamos mostrar el reclamo de $a\!+\!\!+$ es decir, $b'\!+\!\!+=a\!+\!\!+$ para algún número natural $b'$ . Así, por hipótesis de inducción, tenemos $b\!+\!\!+=a$ . Aplicando el incremento (por el axioma de igualdad de Sustitución) obtenemos $(b\!+\!\!+)\!+\!\!+=a\!+\!\!+$ . Definición de $b':=b\!+\!\!+$ la afirmación es la siguiente.

Answer 2

La prueba de Cristhian está incompleta. La hipótesis de inducción no le permite afirmar inmediatamente que existe un $b$ tal que $b{+\!+}=a$ (ya que el valor de verdad de $A\implies B$ por sí mismo no es suficiente para conocer el valor de verdad de $B$ ). En su lugar, debe considerar dos casos diferentes en el paso de inducción: 1) $a=0$ y 2) $a\neq0$ .

En el primer caso, $a{+\!+}=0{+\!+}$ y así $b':=0$ es un único número natural (por los axiomas 2.1 y 2.4) tal que $b'{+\!+}=a{+\!+}$ . En el segundo caso, tanto el antecedente $a\neq0$ y el condicional $P(a):=(a\neq0\implies\exists!b\in\mathbb N:b{+\!+}=a)$ son verdaderas por hipótesis. Entonces, sabemos que existe un único número natural $b$ tal que $b{+\!+}=a$ . Esto implica que $a{+\!+}=(b{+\!+}){+\!+}$ . Por los axiomas 2.2 (existencia) y 2.4 (unicidad) existe un número natural único $b':=b{+\!+}$ tal que $b'{+\!+}=a{+\!+}$ .

Los dos casos nos permiten afirmar que $P(n)\implies P(n{+\!+})$ . Desde $P(0)$ es vacuo, la Proposición se sigue por inducción (Axioma 2.5).