Estas preguntas parecen complicadas, pero la condición de las entradas lo ha hecho mucho más fácil.
Las entradas son 0,1 o -1. Dos de estas entradas son 1, dos son -1 y cinco son 0
Hay que encontrar el número de matrices singulares. Total de matrices en el conjunto $A$ como has calculado, son $$\dfrac{9!}{5!2!2!}$$
Ya que, usted tienen que utilizar 5 ceros, de 9 lugares, Donde cada fila/columna tiene 3 lugares cada una. Nuestros posibles casos de disposición de ceros se reducen significativamente.
Además, al calcular el determinante de tales matrices, siempre se puede quitar el signo negativo de una fila o columna, o multiplicar una fila o columna con él, el determinante no cambiará (ya que sólo hay cero, uno y uno negativo)
Es más fácil calcular el número de no-singular matrices y luego restarlas del total. Inténtalo, antes de seguir leyendo la respuesta.
Puede parecer tedioso e imposible enumerar todos los posibles arreglos de ceros, e incluso entonces puede haber posibilidad de que el resto de términos (1 y -1) se anulen en un cálculo posterior.
Pero hay algunos puntos clave que debes conocer antes de empezar.
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Una fila/columna no puede tener 3 ceros. Así que nuestra única disposición posible es del tipo $(2,2,1)$
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Dado que sólo hay $1$ y $-1$ otros ceros, cualquiera de ellos puede transformarse en otro simplemente multiplicándolo por $-1$ . Esto restringe mucho la disposición de los elementos. Es decir, aunque tengas arreglos como $$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$
Va a ser cero. Dos filas/columnas no deberían ser idénticas.
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Siempre habrá al menos un cero incluido al expandir el determinante. Así que no hay que preocuparse por $1$ y $-1$
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Ordena primero los ceros.
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Diagonal, cualquier fila o columna no puede tener 3 ceros.
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No te pongas a ordenar ceros al azar. Empieza de forma secuencial y sistemática.
No es necesario ver todas las formas posibles de filas y columnas por separado, ya que es una matriz cuadrada y se incluirán todos los arreglos.
Como ya se ha dicho, los únicos arreglos posibles son los de tipo $(2,2,1)$ lo que significa que tenemos que enumerar 3 casos diferentes, cada uno con una fila que tenga sólo 1 cero y el resto con exactamente dos, y no pueden ser idénticos.
Empecé por fijar dos ceros en $a_{11}$ y $a_{12}$ . Ahora, para los siguientes dos ceros, no se puede elegir $a_{21}, a_{22}$ o $a_{31},a_{32}$
En primer lugar, fijemos los dos ceros siguientes uno al lado del otro (columnas consecutivas). Así, para la segunda fila, la única forma posible sería \begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ & 0 & 0 \\ & & \end{vmatrix}
Tenga en cuenta que el último cero no puede estar en ningún lugar excepto $a_{31}$
Ese es el único arreglo posible para tener cero en $a_{11},a_{12}$ y $a_{22} ,a_{23}$
Voy a enumerar todos los casos posibles, deberías hacerlo tú mismo porque puede que se me escape algún caso.
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos primeras columnas, dos ceros consecutivos en la segunda fila
$\begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ & 0 & 0 \\ 0 & & \end{vmatrix}$
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos primeras columnas, dos ceros separados en la segunda fila
$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ 0 & & 0 \\ & 0 & \end{vmatrix} $ y $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ 0 & & 0 \\ & & 0 \end{vmatrix} $
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos primeras columnas, dos ceros consecutivos en la tercera fila
$\begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ & & 0 \\ & 0 & 0 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ 0 & & \\ & 0 & 0 \end{vmatrix}$
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos primeras columnas, dos ceros separados en la tercera fila
$\begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ & & 0 \\ 0 & & 0 \end{vmatrix}$
- Dos ceros fijos en la primera fila, en las dos últimas columnas, dos ceros consecutivos en la segunda fila
$\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ 0& 0& \\ & & 0 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ 0& 0& \\ 0& & \end{vmatrix}$
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos últimas columnas, dos ceros separados en la segunda fila
$\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ 0& & 0 \\ & 0 & \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ 0& & 0 \\ 0& & \end{vmatrix}$
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos últimas columnas, dos ceros consecutivos en la tercera fila
$\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ & & 0 \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ 0& & \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$
- Dos ceros fijos en la primera fila de las dos últimas columnas, dos ceros separados en la tercera fila
$\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ 0& & \\ 0 & & 0 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} & 0 & 0\\ & 0 & \\ 0 & & 0 \end{vmatrix}$
- Dos ceros separados en la primera fila, dos ceros consecutivos en la segunda fila
$\begin{vmatrix} 0 & & 0\\ 0& 0& \\ & 0 & \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} 0 & & 0\\ & 0& 0\\ & 0 & \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} 0 & & 0\\ 0& 0& \\ 0 & & \end{vmatrix}$
- Dos ceros separados en la primera fila, dos ceros consecutivos en la tercera fila
$\begin{vmatrix} 0 & & 0\\ & 0& \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} 0 & & 0\\ & & 0 \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} 0 & & 0\\ 0& & \\ & 0 & 0 \end{vmatrix}$
Ahora sólo queda el caso en el que la primera fila tenía 1 cero.
$\begin{vmatrix} 0 & & \\ 0& & 0 \\ & 0 & 0 \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} 0 & & \\ &0 & 0 \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix} & 0 & \\ 0& & 0 \\ & 0 & 0 \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} & 0 & \\ 0& & 0 \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} & 0 & \\ 0& 0 & \\ 0 & & 0 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} & 0 & \\ &0 & 0 \\ 0 & &0 \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix} & & 0 \\ 0& & 0 \\ 0 & 0 & \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} & & 0\\ 0&0 & \\ 0 & & 0 \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} & & 0\\ 0&0 & \\ & 0& 0 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} & & 0\\ &0 & 0\\ 0 &0 & \end{vmatrix}$
Suspiro Así que estos son 30 casos, cuéntalos tú mismo y comprueba si me he dejado algún caso, o si he cometido un error de conteo.
El resto de las plazas se pueden rellenar $$\dfrac{4!}{2!2!}$$
Así que las matrices singulares totales son $756-6\times30=576$
Sé que es una forma muy cansada, tiene el riesgo de que se pierdan algunos casos, de que se cuente doble, pero he evitado usar permutaciones, porque incluirá casos duplicados.
