Escribo los números positivos a partir de $1$ en un triángulo: $$\mathbb{N}_\triangle = \begin{matrix} &&&&&21&\ldots \\ &&&&15&20&\ldots \\ &&&10&14&19&\ldots \\ &&6&9&13&18&\ldots \\ &3&5&8&12&17&\ldots \\ 1&2&4&7&11&16&\ldots \end{matrix}$$
Si $x$ es cualquier número del $n^{th}-column$ de $\mathbb{N}_\triangle$ en qué columna podemos encontrar $2x$ ? ¿Puedo esperar una fórmula cerrada para esto? No soy capaz de averiguarlo.
El último número del $n$ columna es $m_l(n) = n(n+1)/2.$
El primer número es uno más que el último de la columna anterior: $m_f(n) = 1 + n(n-1)/2.$
Podemos invertir la primera expresión para encontrar la columna un número particular de interés $m$ se encuentra en:
$$n(m) = \lceil\frac{-1 + \sqrt{1 + 8m}}{2}\rceil$$
Así, dada una columna $n$ puede encontrar el primer y el último número de esa columna con las dos primeras fórmulas, y luego utilizar la tercera fórmula para determinar $n(2m_f)$ y $n(2m_l)$ .
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