Comprender las integrales definidas con funciones como límites

Question

No acabo de entender el significado de las integrales definidas sobre dos límites, que aparecen como funciones. Por ejemplo,

$$\int_{x^2}^{\cos x}t^2dt$$

¿Qué me dice esta anotación? ¿Qué significa que el límite inferior es $x^2$ y el límite superior es $\cos x$ ? ¿Dónde se "detiene" y "termina" la integral definida, si $x^2$ y $\cos x$ no son valores individuales, sino un conjunto de valores? ¿No serían estos $x$ ¿los valores se superponen...?

Además, cuando quiero tomar la derivada de dicha integral, ¿cómo sé que $0$ (o cualquier constante de integración especificada para el caso) existe "entre" $x^2$ y $\cos x$ ?

Muy confundido, mis disculpas. Gracias por cualquier aclaración que pueda aportar.

Answer 1

Entonces, primero nos preguntamos ¿qué calcula una integral? La respuesta es, la integral de una función $\int f(x) dx$ es igual al área entre la curva y el $x$ -eje. (Se trata de un área con signo. Así que el área por encima del eje es positiva y el área por debajo se cuenta negativamente).

Así, si queremos conocer la integral definida en el intervalo $[a,b]$ entonces nos preguntamos cuál es el área bajo la curva entre los puntos $a$ y $b$ . O, otra forma de pensar en ello es entre las líneas verticales que atraviesan $a$ y $b$ bajo la curva y por encima de la $x$ -eje. Pictóricamente tenemos

https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&ved=2ahUKEwibo7KTsaDeAhVFxoMKHXOGDCcQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fsocratic.org%2Fquestions%2Fwhat-is-the-difference-between-a-definite-and-indefinite-integral&psig=AOvVaw2n1iATiVXl_xxtypNe1KNy&ust=1540515313234350

Así que $a$ es el límite inferior y $b$ la parte superior. Cuando se utilizan las funciones como límites puede parecer un poco divertido porque no son valores individuales como usted ha dicho, pero en realidad todo lo que están diciendo es dada una entrada esto es lo que los límites son. Así que cuando hacemos la evaluación de algo como

$$\int_{x^2}^{\cos(x)} t^2 dt=\frac{1}{3}(t^3)\bigg|_{x^2}^{\cos(X)}=\frac{1}{3}(\cos^3(x)-x^6)$$

para cualquier valor de $x$ podemos determinar el área bajo la curva entre esos dos límites.