Interpolación Newton-Gregory con cálculos de diferencias divididas para un nuevo punto de interpolación adicional

Question

Supongamos que tenemos lo siguiente

$x_0=-1, y_0=2$

$x_1= 0, y_1=1$

$x_2=1, y_2=2$

$x_3=3, y_3=10$

y sabemos que todo lo anterior $x_i,y_i$ pertenecen a $p_2(x)=x^2+1$ y queremos añadir un extra $x_4=2$ donde $y_4=-7$ y queremos encontrar mediante el uso de la Método de las diferencias divididas un nuevo polinomio $p$ que incluye $x_4$ . Mi pregunta es si tengo que volver a hacer todos los cálculos desde el principio. Ya que solo es un extra $x_i$ Me parece que no tengo que volver a calcular todas las diferencias divididas, pero no estoy seguro. ¿No hay una manera más inteligente de encontrar el nuevo polinomio?

Answer 1

En efecto, el polinomio de Newton (interpolación) puede ser $P_n = P_{n-1} + [y_0,...,y_n](x-x_0)...(x-x_{n-1})$ . Y las diferencias divididas $[y_0,..,y_4]$ (en su caso) puede expresarse en recursión: $[y_0,...,y_4] = \frac{[y_0,...,y_3]-[y_1,...,y_4]}{x_0-x_4}$ . O más directamente: $$[y_0,...,y_n] = \sum^n_{i=0}\frac{y_i}{\prod^n_{j=0,j\neq i}(x_i-x_j)}$$ para calcular el polinomio. Si quieres seguir sumando puntos, utiliza la expresión recursiva y haz la tabla de las "diferencias divididas" por comodidad. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Divided_differences )