Existencia de matrices inversas que dependen de la existencia de la inversa de las otras..

Question

Dejemos que $A_{m\times n}$ y $B_{n\times m}$ sean dos matrices con entradas reales. Demostrar que $I-AB$ es invertible si $I-BA$ es invertible.

Answer 1

Una pista: $(I-BA)^{-1}=X$ (digamos), Ahora expande el lado izquierdo. obtenemos $$X=I+BA+ (BA)(BA)+(BA)(BA)(BA)+\dots$$ $$AXB=AB+(AB)^2+(AB)^3+(AB)^4+\dots$$ $$I+AXB=I+(AB)+(AB)^2+\dots+(AB)^n+\dots=(I-AB)^{-1}$$

Compruébelo usted mismo: $(I+AXB)(I-AB)=I$ , $(I-AB)(I+AXB)=I$

Answer 2

Esto se deduce del hecho de que $\det(I - AB) = \det(I - BA)$ Esto es lo que se llama el Teorema del determinante de Sylvester . Al principio de esta hermosa entrada del blog de Terry Tao .

En realidad, este es un resultado que se mantiene en cualquier anillo con $1$ Lo descubrí por primera vez en un ejercicio del libro de Jacobson Álgebra básica I .

Aquí hay una prueba de que en cualquier anillo $A$ con $1$ tenemos que $1-ab$ es invertible si y sólo si $1-ba$ es. Supongamos que $1-ab$ invertible. Calcule $$ba = b (1-ab)(1-ab)^{-1} a = (b-bab)(1-ab)^{-1} a = (1 - ba) b (1-ab)^{-1} a.$$ Así, $$1 - ba = 1 - (1 - ba) b (1-ab)^{-1} a.$$ Llevando el segundo término del lado derecho al lado izquierdo, $$(1-ba) \cdot (1 + b(1-ab)^{-1} a) = 1.$$ Por supuesto, hay que comprobar que $(1 + b(1-ab)^{-1} a) \cdot (1-ba) = 1$ también se mantiene, y entonces se tiene $$(1-ba)^{-1} = 1 + b(1-ab)^{-1} a.$$

Answer 3

Sugerencia: Suponga que $m<n$ Utiliza el hecho de que $p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t)$ , donde $p_{AB}$ es el polinomio característico de $AB$ . Similar para $m>n$ .