Prueba de la aditividad finita

Question

Hola, ¿podría alguien aclarar por qué exactamente (de la primera línea de la prueba) se deduce que los eventos An son disjuntos? Además, ¿por qué la unión de P(Ai), hasta n, es igual a la unión de P(Ai), hasta el infinito? He entendido la prueba pero no entiendo muy bien de donde se derivan estas 2 cosas.

Answer 1

La primera pregunta que haces está muy bien contestada por @lulu.

Permítanme responder a la segunda pregunta: el autor define básicamente los conjuntos $A_{n+1}=\emptyset$ , $A_{n+2}=\emptyset$ , $A_{n+3}=\emptyset$ ... y así sucesivamente. Por lo tanto, se deduce que \begin{equation}\tag{1} \bigcup \limits_{i=n+1}^\infty A_i=\emptyset. \end{equation}

Entonces tenemos \begin{align*} \bigcup \limits_{i=1}^n A_i&=\big(\bigcup \limits_{i=1}^n A_i\big) \bigcup \emptyset\\ &\stackrel{(1)}{=}\big(\bigcup \limits_{i=1}^n A_i\big) \bigcup \big(\bigcup \limits_{i=n+1}^\infty A_i\big)\\ &=\bigcup \limits_{i=1}^\infty A_i \end{align*} De ello se desprende que $\bigcup \limits_{i=1}^n A_i=\bigcup \limits_{i=1}^\infty A_i$ Por lo tanto

$$P(\bigcup \limits_{i=1}^n A_i)=P(\bigcup \limits_{i=1}^\infty A_i).$$