Desigualdad para incrementos de $r$ los momentos absolutos de las martingalas, $1<r<2$

Question

Si $Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$ es una martingala, donde $X_i$ es una secuencia de diferencia martingala, $\mathbb{E}[X_n\mid \mathcal{F}_{n-1}]=0$ para todos $n$ sabemos que $$ \mathbb{E}\big[Y_n^2-Y_{n-1}^2\big]=\mathbb{E}X_n^2.$$ Una propiedad similar, pero ahora como una desigualdad, se mantiene si sustituimos el cuadrado por el valor absoluto, $$ \mathbb{E}\big[|Y_n|-|Y_{n-1}|\big]\le\mathbb{E}|X_n|.$$ ¿Sucede algo análogo con otras potencias? Es decir, algo parecido a $$ \mathbb{E}\big[|Y_n|^r-|Y_{n-1}|^r\big]\le C\mathbb{E}|X_n|^r,$$ para $1<r<2$ y algunos $C>0$ ?

Supongo que si la distribución de $X_n$ dado $Y_{n-1}$ fueran simétricos respecto a cero, entonces esto sería una consecuencia directa de los límites de von Bahr-Essen ( Desigualdades para el rº momento absoluto de una suma de variables aleatorias , $1 \le r\le 2$ (The Annals of Mathematical Statistics, 36), con $C=1$ . ¿Se cumple también bajo supuestos más débiles? El documento de von Bahr-Essen establece la primera ecuación (igualdad en caso de $r=2$ ) como un caso especial.

Answer 1

Sí, esta desigualdad, con la mejor $C$ ( $\le 2$ ), se demostró en este documento ; véase, por ejemplo, la desigualdad (1.11) allí.

De hecho, esa desigualdad implica que $$E\Big|\sum_{i=1}^m U_i\Big|^r\le E|U_1|^r+C_r\sum_{i=2}^m E|U_i|^r,$$ donde el $U_i$ son diferencias de martingala y $C_r\in[1,2]$ . Tomando aquí $m=2$ , $U_1:=Y_{n-1}$ y $U_2:=X_n$ obtenemos $$E|Y_n|^r\le E|Y_{n-1}|^r+C_rE|X_n|^r,$$ como se desee.