¿Hay un nombre para este tipo de "Pascal ' s triángulo"?

Question

He estado trabajando en un problema y encontré un interesante triángulo que funciona casi exactamente igual a la de un Triángulo de Pascal. Me gustaría ver si soy capaz de encontrar más información sobre las propiedades de estos triángulos. He encontrado información en Pascal simplexes, pero eso no es lo que es esto.

Triángulo de Pascal puede ser construido por el hecho de que cada celda es la suma de los $2$ por encima de él. Pero estoy interesado en el resultado de triángulos cuando usted suma los anteriores $3$ células, $4$ células, o más.

$n=3$:

$$ 1\\ 1\ \ 1\ \ 1\\ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 2\ \ 1\\ 1\ \ 3\ \ 6\ \ 7\ \ 6\ \ 3\ \ 1\\ $$

$n=5$:

$$ 1\\ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\\ 1\ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 4\ \ \ 5\ \ \ 4\ \ \ 3\ \ \ 2\ \ \ 1\\ 1\ \ \ 3\ \ \ 6\ \ 10\ 15\ 18\ 19\ 18\ 15\ 10\ \ 6\ \ \ 3\ \ \ 1 $$

En particular, lo que me gustaría saber es cómo generar un arbitraria de la fila, como la $20$th fila al $n=11$.

Answer 1

No tienen nombres para mis conocimientos, pero son fáciles de calcular. Por ejemplo, usted puede encontrar la tercera fila del triángulo de orden 3 por expansión:

$$(1 + x + x^2)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 7x^3 + 6x^4 + 3x^5 + x^6$$

En general, $n$ ésima fila de la orden-$k$ triángulo viene dado por la expansión

$$\left( \sum_{i=0}^k x^i \right)^n$$

y lectura de los coeficientes. La prueba (no es difícil) se deja como ejercicio.

Answer 2

La versión con $n=3$ es llamado el "trinomio triángulo"; aquí está su página de Wikipedia. Aquí está una anterior de matemáticas.SE pregunta acerca de ella.

En general, estos triángulos son calculables a través de coeficientes multinomiales. La expresión $$\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$ es el coeficiente de $a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_m^{k_m}$ en la expansión de $$(a_1+a_2+\cdots+a_m)^n$$ donde $k_1+k_2+\cdots+k_m=n$. A continuación, sustituir $a_i=x^{i-1}$, y recoger los términos apropiados.

Answer 3

A pesar de que me gusta bastante de las dos anteriores respuestas, esta configuración también puede ser pensado como un autómata celular. Por lo tanto, su $n=3$ versión puede ser calculado en Mathematica así:

radius = 1;
duration = 9;
ca = CellularAutomaton[{Total[##] &, {}, radius}, {{1}, 0}, duration];
Grid[ca /. 0 -> ""]

Simplemente aumentar el radio y/o la duración deseada. Podemos generar su fila 20 para $n=11$ y compararlo con la primera, aceptó responder de la siguiente manera:

ca = First[CellularAutomaton[{Total[##] &, {}, 5}, {{1}, 0}, {{20}}]];
nom = CoefficientList[Expand[Sum[x^i, {i, 0, 10}]^20], x];
ca == nom
(* Out: True *)