Aquí Intentaba demostrar la siguiente afirmación.
Dejemos que $G$ sea un grupo topológico abeliano compacto. Entonces $G$ es conexo si su dual $\hat G$ es libre de torsión.
La prueba en el enlace anterior es la siguiente.
Supongamos que $\phi:G\to S^1$ es un elemento de $\hat G$ y $n\geq1$ son tales que $\phi^n$ es el elemento unitario en $\hat G$ Es decir, $\phi(g)^n=1$ para todos $g\in G$ . Entonces $\phi$ toma valores en el subgrupo de $S^1$ de elementos de orden divisible por $n$ . Este subgrupo es finito, por lo que es discreto, por lo que si $G$ está conectado, entonces $\phi$ debe ser constante (¡porque es continua!). Por lo tanto, vemos que $G$ conectado implica $\hat G$ es libre de torsión. Por el contrario, Supongamos que $G$ no está conectada, y dejemos que $G_0$ sea el componente conexo de $1_G$ . Entonces $G/G_0$ es un grupo abeliano finito y no trivial. En particular, el grupo dual $(G/G_0)^\wedge$ también es finito y no trivial (es isomorfo no canónico a $G/G_0$ De hecho, tiene torsión. Para ver que $\hat G$ tiene torsión, sólo tenemos que observar que existe un morfismo inyectivo de grupos $(G/G_0)^\wedge\to\hat G$ .
Sin embargo, no puedo entender por qué existe $n$ tal que $\phi^n(g)=1$ ? ¿Alguien puede explicarlo?
