Límite de $\frac{\sqrt{|x |-\lfloor x\rfloor }}{x^2}$ utilizando sólo la definición

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$$\lim _{|x|\to \infty \:}\frac{\sqrt{\left|x\right|-\lfloor \:x\rfloor }}{x^2}=0$$

utilizando sólo la definición de límite

$$\lim _{x\to +\infty}f(x)=L \iff \forall \varepsilon >0\quad \exists A >0\quad \forall x\in U\quad x> A \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$

• Como primer paso me cansé de mostrar que

$$\left|\frac{\sqrt{\left|x\right|-\lfloor \:x\rfloor }}{x^2} -0 \right| \leq \frac{1}{x^2}$$ sin suerte de hecho,

$$x-1 <\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor+1$$ $$x-1 <\lfloor x \rfloor \leq x \implies -x \leq -\lfloor x \rfloor <|x|+x-1 \implies |x|-x \leq |x|-\lfloor x \rfloor <x-1$$

• Segundo paso tenemos para todos $x >0$ $$\left|\frac{\sqrt{\left|x\right|-\lfloor \:x\rfloor }}{x^2} -0 \right| \leq \frac{1}{x^2}$$ Dejemos que $\varepsilon >0$

Answer 1

Sugerencia

$$\left|\frac{\sqrt{\left|x\right|-\lfloor \:x\rfloor }}{x^2} -0 \right| \leq \frac{1}{x^2}$$

Ahora para hacer $\frac{1}{x^2} <\epsilon$ necesitas $|x| >...$ .

Answer 2

Tenemos que $|x|^2=x^2$ y $\lfloor \:x\rfloor \leq x \leq |x|$

Así, $$\frac{\sqrt{\left|x\right|-\lfloor \:x\rfloor }}{x^2}\leq \frac{\sqrt{|x|+|x|}}{x^2}\leq \sqrt{2} \frac{\sqrt{|x|}}{|x|^2} \leq \frac{2}{|x|^{\frac{3}{2}}}$$

Poner $a=\frac{3}{2}$

Tenemos que $\lim_{x \to +\infty}\frac{2}{|x|^a}=0$

Por lo tanto, a partir de la definición debemos encontrar $S>0$ tal que $\frac{1}{|x|^a}<\epsilon ,\forall x >S$

Ahora $$\frac{1}{|x|^a}<\epsilon \Rightarrow |x|^a> \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow |x|>\sqrt[a]{(\frac{1}{\epsilon})}$$

Toma $S=\sqrt[a]{(\frac{1}{\epsilon})}$ y tenemos que si $|x|>S$ entonces $\frac{1}{|x|^a}<\epsilon \Rightarrow \frac{\sqrt{\left|x\right|-\lfloor \:x\rfloor }}{x^2}< \epsilon$

Answer 3

La notación $\lim_{|x|\to\infty}$ no es estándar, pero supongo que el significado previsto es a través de esta definición.

Dejemos que $f(x)$ se defina para todos los $x$ con $|x|> a$ . La notación $\lim_{|x|\to\infty}f(x)=L$ significa que, en correspondencia con cada $\epsilon > 0$ hay un $N> 0$ tal que $|f(x) -L | < \epsilon$ siempre que $|x|>N$ .

Es fácil observar que $x - 1 < \lfloor x\rfloor\leq x$ y $|x|=\max(x, -x)$ para que $0\leq |x| - \lfloor x\rfloor \leq 2|x| + 1$ y ahora se ve fácilmente mediante Sqeeze que el límite deseado es $0$ .