Confusión sobre las definiciones equivalentes de los operadores lineales adyacentes

Question

La definición de un adjunto Tengo es que si $(V,|| \ ||_V)$ y $(W,|| \ ||)_W)$ son espacios vectoriales normados, y $T:V\to W$ es un operador lineal acotado, entonces el adjunto de $T$ es $T^*:W^*\to V^*$ dado que $(T^*\varphi)(v)=(\varphi\circ T)(v)$ , donde $V^*$ y $W^*$ son los duales de $V$ y $W$ respectivamente, y $\varphi$ es un funcional lineal.

A partir de esto, me dicen que somos capaces de demostrar que para los espacios de Hilbert, $H_1$ y $H_2$ el adjunto del operador lineal $T:H_1\to H_2$ es tal que $\langle Tx,y\rangle_2=\langle x,T^*y\rangle_1$ si $x\in H_1$ y $y\in H_2$ .

No consigo relacionar las dos definiciones en absoluto, y tengo la impresión de que me falta algo. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

De hecho, se trata de dos cosas diferentes -aunque estrechamente relacionadas-. Prefiero llamar a la cosa "dual" o "transposición" para los espacios normados para evitar esa confusión. Así que llamémosla transposición para espacios normados y denotémosla por ${}^tT$ en lugar de $T^{\ast}$ y reservar el nombre de adjunto y la notación $T^{\ast}$ para el mapa caracterizado por $\langle Tx,y\rangle_2 = \langle x, T^{\ast} y\rangle_1$ para $x\in H_1,\, y\in H_2$ por ahora.

Entonces para el operador lineal $T \colon H_1 \to H_2$ tenemos

1. la transposición ${}^tT \colon H_2^{\ast} \to H_1^{\ast}$ y
2. el adjunto $T^{\ast} \colon H_2 \to H_1$ .

Se trata de mapas entre espacios diferentes, y por tanto de mapas diferentes.

Sin embargo, para los espacios de Hilbert, tenemos una identificación entre el espacio y su dual por el mapa de Riesz,

$$R_H(x) = \langle\,\cdot\,,x\rangle_H = y \mapsto \langle y,x\rangle_H.$$

(Asumiendo la convención matemática de que el producto interior es lineal en el primer argumento y antilineal en el segundo. Hazlo $R_H(x) = \langle x,\,\cdot\,\rangle_H$ para la convención de físicos).

El mapa de Riesz es lineal en el caso de los espacios de Hilbert reales, y antilineal para los espacios de Hilbert complejos, y el adjunto y la transposición de $T$ están conectados a través de los mapas de Riesz de $H_1$ y $H_2$ , es decir, tenemos

\begin{align} \langle Tx, y\rangle_2 &= R_{H_2}(y)(Tx) = \Bigl({}^t T\bigl(R_{H_2}(y)\bigr)\Bigr)(x),\\ \langle x, T^{\ast} y\rangle_1 &= R_{H_1}\bigl(T^{\ast}y\bigr)(x), \end{align}

para todos $x\in H_1, \, y\in H_2$ Así que

$${}^tT\bigl(R_{H_2}(y)\bigr) = R_{H_1}\bigl(T^{\ast}y\bigr)$$

para todos $y\in H_2$ y finalmente

$$T^{\ast} = R_{H_1}^{-1}\circ {}^tT \circ R_{H_2}.$$

Tenga en cuenta que el mapa $T \mapsto {}^tT$ es siempre lineal, mientras que el mapa $T \mapsto T^{\ast}$ es antilineal para los espacios de Hilbert complejos.