Si X e Y son variables aleatorias con la misma distribución, demuestre que f(X) y f(Y) son variables aleatorias que tienen la misma distribución.

Question

Supongamos que X es una RV en $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$ . Sea f medible por Borel en $(\mathbb{R}, \mathfrak{B})$ .

1 Demuestre que f(X) es también una RV en $(\Omega, \mathfrak{F}, P)$ .

2 Sea Y ba RV en $(\Omega', \mathfrak{F}', P')$ que tiene la misma dist que X. Demuestre que f(X) y f(Y) tienen la misma dist.

1 ¿Debo demostrar que $f(X(B))^{-1} \in \mathfrak{F}$ dado $X^{-1}(B) \in \mathfrak{F}$ (nuestra definición de X como RV) y $f^{-1}(B) \in \mathfrak{B}$ (siendo nuestra definición de f medible por Borel)? Parece que todo lo que tengo que hacer es utilizar $f(X(B))^{-1} = X^{-1}(f^{-1}(B))$ ...

2 ¿Debo demostrar que $\mathfrak{L}_{f(X)}((-\infty,x]) = \mathfrak{L}_{f(Y)}((-\infty,y])$ dado $\mathfrak{L}_{X}((-\infty,x]) = \mathfrak{L}_{Y}((-\infty,y])$ ?

Aquí está mi intento:

$\mathfrak{L}_{X}((-\infty,x]) = \mathfrak{L}_{Y}((-\infty,y])$

$\to \mathfrak{L}_{X}(B) = \mathfrak{L}_{Y}(B)$ por corolario del lema de unicidad

$\to \mathfrak{L}_{X}(f^{-1}(B)) = \mathfrak{L}_{Y}(f^{-1}(B))$ si elegimos $B = f^{-1}(B)$

$\to P(X^{-1}(f^{-1}(B)) = P'(Y^{-1}(f^{-1}(B))$

$\to \mathfrak{L}_{f(X)}(B) = \mathfrak{L}_{f(Y)}(B)$

$\to \mathfrak{L}_{f(X)}((-\infty,x]) = \mathfrak{L}_{f(Y)}((-\infty,y])$ si elegimos B = $(-\infty,x] or (-\infty,y]$

¿QED?

Answer 1

1. Está utilizando el hecho de que $X$ es una variable aleatoria, que $f$ es medible por Borel, y que las preimágenes obedecen a la regla $Z^{-1}(B)=X^{-1}(f^{-1}(B))$ para $Z=f(X)$ . Ninguno de los dos primeros supuestos puede relajarse.

2. Si $P(X\in A)=P'(Y\in A)$ para todos $A\in\mathfrak B$ entonces 2. se deduce del hecho de que $$ P(f(X)\in A)=P(X\in f^{-1}(A))=\cdots=P'(f(Y)\in A) $$ y que $f^{-1}(A)\in\mathfrak B$ para todos $B\in\mathfrak B$ desde $f$ se supone que es medible por Borel.

Answer 2

Para 1: Mostrar $(f \circ X)^{-1} (A) \in \mathfrak{F}$ para cualquier $A \in \mathfrak{B}$ .

Para 2:

$P \{ \omega | F(X(\omega)) \in A \} = P \{ \omega | X(\omega) \in F^{-1}(A) \} = P' \{ \omega | Y(\omega) \in F^{-1}(A) \} = P' \{ \omega | F(Y(\omega)) \in A \}$ .