Grupos fundamentales de espacios de mapas a espacios de Eilenberg-MacLane

Question

Dejemos que $X$ sea un complejo CW finito y $A$ un grupo abeliano, y considerar el espacio $Maps(X,K(A,n))$ de mapas continuos de $X$ a $K(A,n)$ dotado de la topología compacto-abierto, de modo que representa el functor $Y\mapsto C(X\times Y,K(A,n))$ . Sea $Maps_0(X,K(A,n))$ sea el componente conectado a la trayectoria de $Maps(X,K(A,n))$ correspondiente al cero en $H^n(X,A)$ y que $*$ cualquier punto de $Maps_0(X,K(A,n))$ . Me interesa el grupo fundamental $\pi_1( Maps_0(X,K(A,n)),*)$ .

i) ¿es abeliano?

ii) actúa trivialmente sobre $\pi_i( Maps_0(X,K(A,n)),*)$ para $i\geq 1$ ?

Si la respuesta a estas dos fuera "sí", entonces se tendría que para $X$ una variedad orientada lisa, compacta y conectada de dimensión $k\lt n$ la torre Postnikov de $Maps(X,K(\mathbb{Z},n))$ comienza con $K(\mathbb{Z},n-k)$ para que haya una canónica $(n-k-2)$ -en el espacio (de moduli) de $(n-2)$ -gerbes on $X$

Answer 1

En general, los grupos de homotopía (basados en el mapa trivial) de un basado en espacio cartográfico $Map(X,Y)$ son $\pi_nMap(X,Y)=[\Sigma^n,Y]$ , $n\geq 0$ donde los paréntesis denotan conjuntos de clases de homotopía de mapas. Si $Y=K(A,n)$ entonces se obtiene $\pi_1Map(X,K(A,n))=[\Sigma X,K(A,n)]=H^n(\Sigma X,A)\cong H^{n-1}(X,A)$ .

Answer 2

Se puede afinar la respuesta de Fernandos: existen modelos para los espacios de Eilenberg Mac Lane que son grupos topológicos abelianos. Por lo tanto, el espacio de mapeo $Map(X;K(A,n))$ (con o sin base) es un grupo abeliano topológico. Los grupos abelianos topológicos son productos de espacios de Eilenberg-Mac Lane, por lo que tu espacio cartográfico es un producto de espacios de Eilenberg-Mac Lane también. Lo que significa que también conoce la torre de Postnikov.