¿Es ésta una forma aceptable de integración?

Question

Se supone que debo encontrar: $$ \int \sec(1-x)\tan(1-x) dx $$

Entonces puse $ u = \sec(1-x) $ $$ du = -\tan(1-x)\sec(1-x)\ dx $$ por lo tanto

$$ \frac{-du}{\sec(1-x)} = \tan(1-x)\ dx$$ Que cuando se aplica me da esto: $$\int \sec(1-x) \frac{-du}{\sec(1-x)} = -\int 1\ du \\ = -\sec(1-x) + C $$

lo cual es correcto, pero siento que esto es como hacer trampa por alguna razón, ¿esto no es aceptable?

Answer 1

Lo has hecho muy bien.

O bien,

desde $\dfrac{d}{dx}\left(\sec \theta\right) = \sec \theta \tan \theta$ tiene sentido que $\int \sec\theta \tan\theta\,d\theta = \sec\theta + C$ .

Ahora puedes reconocer más fácilmente que tu integrando es igual $\;-\dfrac{d}{dx}\big(\sec(1-x)\big),\:$ y lo que eso significa para $\;\int \sec(1-x)\tan(1-x)\,dx\;?$