Número de soluciones para $x+y+z = n$

Question

Si $\beta(n)$ es el número de triples $(x, y, z)$ tal que $x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x$ , encontrar $\beta(n)$ .

Intento:

Creo que hay muchos casos que mirar para encontrar $\beta(n)$ . Sabemos que el número de soluciones sin restricción es $\binom{n+2}{2}$ pero necesitamos una ordenación. El número de soluciones $0 \leq z \leq y \leq x$ es igual al número de soluciones $0 \leq y \leq x \leq z$ etc. Por lo tanto, sólo tenemos que preocuparnos por el caso de que $x=y=z$ ya que es el único caso en el que se cruzan. Si $n$ es divisible por $3$ entonces $\beta(n) = \dfrac{\binom{n+2}{2}-1}{3}+1$ y por otra parte $\dfrac{\binom{n+2}{2}}{3}$ .

Answer 1

Dejemos que $a=z$ , $b=y-z$ , $c=x-y$ . Buscamos el número de soluciones de $c+2b+3a=n$ con $a,b,c\geq 0$ , por lo que la respuesta viene dada por: $$[x^n](1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x^2+x^4+x^6+\ldots)(1+x^3+x^6+x^9+\ldots)$$ es decir, por: $$ [x^n]\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} \tag{1}$$ que se puede recuperar mediante la descomposición parcial de la fracción. La función meromorfa $f(z)=\frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^3)}$ tiene un triple polo en $z=1$ y polos simples en $z\in\{-1,\omega,\omega^2\}$ Así que sabemos de antemano que $(1)$ se comporta como un $\color{green}{\text{second-degree polynomial in }n}$ más $\color{blue}{\text{a small perturbation}}$ que depende de $n\pmod{6}$ . Utilizando el teorema del residuo obtenemos: $$ f(x) = \frac{17}{72}\cdot\frac{1}{(1-x)^3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1-i\sqrt{3}}{18}\cdot\frac{1}{x-\omega}+\frac{1+i\sqrt{3}}{18}\cdot\frac{1}{x+\omega}\tag{2} $$ por lo tanto: $$ (1) = \frac{1}{72} \left(\color{green}{6n^2+36n+47}+\color{blue}{9 (-1)^n+4\cos\frac{2\pi n}{3}}\right)\tag{3}$$ y la respuesta viene dada por el número entero más cercano a $\color{red}{\large\frac{(n+2)(n+4)}{12}}$ .