Demostrar que el funcional $F$ en $\mathscr{D}$ definido por $\langle F, \phi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n} f\phi$ es una distribución.

Question

Dejemos que $f$ sea una función localmente integrable en $\mathbb{R}^n$ . Demostrar que el funcional $F$ en $\mathscr{D}$ definido por $\langle F, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} f\phi$ es una distribución, donde $\phi\in\mathscr{D}$ es una función de prueba y $\mathscr{D}$ es el conjunto de funciones de prueba.

No sé por dónde empezar con esto. Cualquier ayuda o sugerencia será muy bienvenida.

Answer 1

Una distribución es una función lineal continua $F:\mathscr{D}\to\mathbb{R}$ . $F$ está bien definida en nuestro caso porque $f$ es localmente integrable y cada $\phi$ tiene un soporte compacto, y $F$ es lineal ya que la integración es lineal. Por tanto, basta con comprobar la continuidad.

Para ello, basta con demostrar que para cada conjunto compacto $K$ hay un número real $C\geq 0$ y un número entero no negativo $N$ tal que $$ |\langle F,\phi\rangle|\leq C\sum_{|\alpha|\leq N}\sup_K|\partial^{\alpha}\phi|$$ para todos $\phi\in\mathscr{D}$ apoyado en $K$ , donde $|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n$ .

En este caso, si $K$ es un conjunto compacto, entonces $$ |\langle F,\phi\rangle|=\Big|\int_Kf\phi\Big|\leq \int_K|f||\phi|\leq ||f||_{L^1(K)}\sup |\phi| $$ para que podamos tomar $N=0$ y $C=||f||_{L^1(K)}$ .