inverso de $y(x) = 1 - \exp( - (\alpha x + \beta x^2 )) $

Question

Me gustaría calcular la inversa de $y(x) = 1 - \exp( - (\alpha x + \beta x^2 )) $ . Antes conocía un método pero no recuerdo cómo hacerlo. Estoy atascado en el paso donde tengo:

$$- \ln( 1 - y) = x ( \alpha + \beta x ) $$

La función no es en sí misma invertible, pero estoy bastante seguro de que lo es si se establecen algunas condiciones sobre $\alpha$ y $\beta$ . La función es monótona a dos bandas y como sólo me interesa $x > 0$ si el extremo es inferior a cero, mi función es invertible en el eje positivo.

¿Cómo puedo encontrar dicha inversa?

Salud.

Answer 1

Alternativamente, cuando se obtiene

$${\alpha x + \beta x^2 = -\ln(1-y)}$$

Dividir por ${\beta}$ :

$${\Rightarrow x^2 + \frac{\alpha }{\beta }x = \frac{-1}{\beta}\ln(1-y)}$$

Luego completa el cuadrado:

$${\left(x + \frac{\alpha}{2\beta}\right)^2 - \frac{\alpha^2}{4\beta^2} = \frac{-1}{\beta}\ln(1-y)}$$

$${\Rightarrow \left(x + \frac{\alpha}{2\beta}\right)^2 = \frac{-1}{\beta}\ln(1-y) + \frac{\alpha^2}{4\beta^2}}$$

$${\Rightarrow x + \frac{\alpha}{2\beta} = \pm\sqrt{\frac{-1}{\beta}\ln(1-y) + \frac{\alpha^2}{4\beta^2}}}$$

Y así, finalmente

$${x = -\frac{\alpha}{2\beta}\pm\sqrt{\frac{-1}{\beta}\ln(1-y) + \frac{\alpha^2}{4\beta^2}}}$$

Ahora bien, esto no es técnicamente una "función", ya que asigna un valor de entrada a múltiples valores de salida, por lo que decir

$${f^{-1}(x)=-\frac{\alpha}{2\beta}\pm\sqrt{\frac{-1}{\beta}\ln(1-x) + \frac{\alpha^2}{4\beta^2}}}$$

no es realmente técnicamente correcto - tendría que elegir la rama que le interesa.

Answer 2

Como se sugiere en los comentarios, simplemente tenemos

$$ \beta x^2+\alpha x+ \ln( 1 - y)=0 $$

$$\implies x=\frac{-\alpha+\sqrt{\alpha^2-4\beta\ln(1-y)}}{2\beta}\: x=\frac{-\alpha-\sqrt{\alpha^2-4\beta\ln(1-y)}}{2\beta}$$