¿Existe una conexión entre $\sum_{k=0}^{n}k^3=\left(\sum_{k=0}^{n}k\right)^2$ y $\int_0^x t^3\text{ } dt=\left(\int_0^x t\text{ } dt\right)^2$ ?

Question

Mi profesor de matemáticas señaló a nuestra clase que $$\sum_{k=0}^{n}k^3=\left(\sum_{k=0}^{n}k\right)^2$$ y que $$\int x^3\text{ } dx=\left(\int x\text{ } dx\right)^2$$ ¿Existe una conexión evidente entre ambos? ¿Se puede demostrar una cosa a partir de la otra?

Answer 1

Lo segundo está escrito de forma engañosa, en parte porque no estás pensando en $+C$ . Una formulación más razonable de la segunda identidad, en el contexto de la primera, sería $\int_0^x y^3 \,dy = \left ( \int_0^x y \,dy \right )^2$ que sí se mantiene.

Dicho esto, la primera identidad implica la que acabo de escribir, porque:

$$\int_0^x y^3 \,dy = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{x}{n} (kx/n)^3 = \lim_{n \to \infty} \frac{x^4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3$$

mientras que

$$\left ( \int_0^x y \,dy \right )^2 = \left ( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{x}{n} (kx/n) \right )^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{x^4}{n^4} \left ( \sum_{k=1}^n k \right )^2.$$

Sin embargo, no se puede deducir directamente la primera identidad a partir de ésta, a grandes rasgos, porque la integral sólo ve el término principal de la suma.

Answer 2

En la gama $[k,k+1)$ se puede descomponer $x$ como $x=k+\{x\}$ , donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria.

Entonces

$$\int_0^{n+1}x^3\,dx=\sum_{k=0}^n\int_k^{k+1}(k+\{x\})^3dx=\sum_{k=0}^n\int_k^{k+1}(k^3+3k^2\{x\}+3k\{x\}^2+\{x\}^3)\,dx\\ =\sum_{k=0}^n(k^3+3k^2I_1+3kI_2+I_3)=\sum_{k=0}^nk^3+\frac32\sum_{k=0}^nk^2+\sum_{k=0}^nk+\frac{n+1}4$$

con $$I_d:=\int_0^1\{x\}^d\,dx=\frac1{d+1}.$$

Asimismo, $$\int_0^{n+1}x\,dx=\sum_{k=0}^n\int_k^{k+1}(k+\{x\})\,dx =\sum_{k=0}^nk+\frac{n+1}2.$$

Si calculas $$\int x^3\,dx-\left(\int x \,dx\right)^2,$$ la anulación de los términos (pero el primero) parece mágico.