Si $M$ y $\tilde M$ son matrices cuadradas invertibles que son casi iguales (puedes elegir la norma) $$\tilde M-M<\epsilon$$ Entonces, ¿podemos decir que sus inversos son casi iguales (por supuesto)? Aquí está la trampa: ¿podemos hacer que el límite superior del error sea una función del determinante? $$\tilde M^{-1}-M^{-1}<f(\det M,\epsilon)$$ Por supuesto, tú eliges las normas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La teoría de la perturbación de las inversiones se basa en los números de condición. Si $M$ y $\tilde{M}$ son no singulares, de manera que $\|\tilde{M}-M\|\leq\epsilon\|M\|$ entonces $$ \frac{\|\tilde{M}^{-1}-M^{-1}\|}{\|\tilde{M}^{-1}\|}\leq \epsilon\,\kappa(M), $$ donde $\kappa(M)=\|M\|\|M^{-1}\|$ es el número de condición de $M$ . Si tenemos $\epsilon\,\kappa(M)<1$ entonces también $$ \frac{\|\tilde{M}^{-1}-M^{-1}\|}{\|M^{-1}\|}\leq\frac{\epsilon\,\kappa(M)}{1-\epsilon\,\kappa(M)}. $$ Dado que los límites son agudos, una pregunta relevante sería:
¿Existe una relación entre el número de condición y el determinante?
Considere la matriz $\infty$ -norma $\|\cdot\|_{\infty}$ y el número de condición asociado $\kappa_{\infty}(X)=\|X\|_{\infty}\|X^{-1}\|_{\infty}$ . Los dos ejemplos siguientes muestran que, obviamente, no hay una relación directa entre el determinante y el número de condición:
1) Que $$ X=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ & 1 & -1 & \cdots & -1 \\ & & \ddots & \cdots & \vdots \\ & & & 1 & -1 \\ & & & & 1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times n}. $$ Entonces $$ \|X\|_\infty=n, \quad \|X^{-1}\|_{\infty}=2^{n-1}, \quad \kappa_{\infty}(X)=n2^{n-1}, \quad \det(X)=1. $$ Así que $\kappa_{\infty}(X)$ puede ser muy grande incluso para pequeños $n$ mientras que $\det(X)$ permanece igual a 1 independientemente de $n$ .
2) Que $$ X=\alpha I\in\mathbb{R}^{n\times n}, \quad \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, $$ donde $I$ es la matriz de identidad. Entonces $$ \|X\|_{\infty}=|\alpha|, \quad \|X^{-1}\|_{\infty}=\frac{1}{|\alpha|}, \quad \kappa_{\infty}(X)=1, \quad \det(X)=|\alpha|^n. $$ Así que mientras la matriz $X$ está "idealmente" condicionada para cualquier $\alpha$ y $n$ su determinante puede hacerse arbitrariamente grande o pequeño si $\alpha\neq 1$ .
