gran $\mathcal O$ para el número de primos en un intervalo?

Question

Según von Koch 1991, si la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces la para la función de conteo de primos

$$\pi(x)=Li(x)+\mathcal O(\sqrt x \log x)$$

Estoy tratando de entender cómo lidiar con el gran $\mathcal O$ términos al estimar el número de primos en un intervalo $[y,z]$ :

$$\Delta\pi=\pi(z)-\pi(y)=Li(z)-Li(y)+\mathcal O(\sqrt z \log z)-\mathcal O(\sqrt y \log y)$$

$$\Delta\pi=\int_y^z\frac{1}{\log x}dx+\underbrace{\mathcal O(\sqrt z \log z)-\mathcal O(\sqrt y \log y)}_?$$

¿Cómo es la diferencia de los grandes $\mathcal O$ ¿se comportan? Cualquier referencia también es bienvenida.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

La parte complicada de la $O$ es que no representan números, sino realmente conjuntos, o si se prefiere, familias de funciones. Además, sólo se ocupan del módulo o del valor absoluto, y por tanto $+$ y $-$ son simplemente lo mismo.

En resumen: $O(\sqrt{z}\log z)-O(\sqrt{y}\log y)=O(\sqrt{z}\log z)$ eso es todo lo que se puede decir al respecto.