Hace un par de días pregunté lo siguiente Pregunta sobre el cálculo de la hipercohomología
He intentado un ejemplo similar para $(\mathbb{C}^*)^2$ y tengo un par de preguntas.
Este es mi cálculo:
Tenemos una cadena de $ \mathbb{C}[x^{\pm 1}, y^{\pm 1} ] $ -módulos:
$$ 0 \longrightarrow \mathbb{C}[x^{\pm 1}, y^{\pm 1} ] \longrightarrow \left< dx,dy \right> \longrightarrow \left< \ dx \wedge dy \ \right> \longrightarrow 0$$
con mapas codiferenciales:
$ d (f) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot dy $
$d (f \cdot dx + g \cdot dy) = \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot ( dx \wedge dy) \\ $
y obtenemos:
$H^0_{dR} = \mathbb{C} \ \ \ \ $ , $ \ \ \ \ H^2_{dR} \cong \mathbb{C} \left( \frac{1}{xy} \right)\cdot ( dx \wedge dy) \cong \mathbb{C} \ \ \ $ , $ \ \ \ H^1_{dR} \cong \mathbb{C} \left(\frac{1}{x} \right)\cdot dx + \mathbb{C} \left(\frac{1}{y} \right)\cdot dx \cong \mathbb{C}^2$ .
Mis preguntas:
En primer lugar, ¿es correcto lo anterior?
En segundo lugar, si es correcto, ¿hay una forma agradable de visualizar lo que obtengo por $H^1$ ? ¿Entiendo que el espacio parece un espacio euclidiano de 4 dimensiones con dos planos eliminados que se tocan en un solo punto?
He aquí un mal intento de intentar imaginarlo, no sé si significa algo. Intenté pensar en aplastar los planos en el punto para poder verlo en 3d, y luego usar la dimensión no vista para moverme con uno de los caminos:
