Explique el término de error en el método de Euler

Question

Tarea: Tuve que averiguar algunas estimaciones para M y L para asegurarme de que la accucrazy proporcional no está por encima de $10^{-4}$ en el método de Euler con el problema siguiente.

Estoy tratando de entender la página 672 de este libro aquí . El libro proporciona la fórmula

$$\left|y(x_{n})-y_{n}\right|\leq \left(\frac{M}{2L}\right)\left(e^{L(x_{n}-x_{0})}-1\right)h$$

sobre el error donde se puede ver la M y la L (que parece que se necesita algún uso de la función de Lambert o una estimación aproximada para el límite superior, mira el $L$ término). También hay un ejemplo en el que encuentra algunos límites superiores y reclama alguna estimación aproximada. Más concretamente, estoy intentando aplicar el método de deducción del término de error de las páginas 673-674 para el problema 2 de la página 676.

M

Todavía no puedo entender por qué se utiliza la segunda derivada como estimación de la $M$ . En la página 673, sólo afirma que suponga que $|y''(x)|\leq M$ pero no puede encontrar ninguna premisa para ello, el 2 en lo anterior. Este punto sobre M en las páginas 673-674 es algo de magia negra para mí. Por favor, explique.

L

La L es aparentemente sólo la longitud del intervalo.

Answer 1

Definiciones

L

$L$ no es la longitud del intervalo, sino una constante de Lipschitz: algún número tal que $$|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$ satisfecho para todos $y_1,y_2,x$ (en algún intervalo de interés).

M

De la misma manera, $M$ es cualquier número tal que la suposición $|y''(x)| \le M$ se satisface. El análisis de errores también se explica en este artículo aquí (referencia tomada del Artículo de Wikipedia sobre el método de Euler ).

Ejemplo

Supongamos que la ecuación $y' = -\frac12 y$ con la condición inicial $y(0) = 1$ con el método de Euler en el intervalo $x \in [0,1]$ . En realidad, conocemos la solución exacta en este caso, $y(x) = \exp(\frac12x)$ .

Encontrar a L

Observamos que $f(x,y) = \frac12 y$ en el ejemplo, por lo que la ecuación

$$|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$

se convierte en $$|\frac12 y_1 - \frac12 y_2| \le L |y_1 - y_2|.$$

Esta ecuación se cumple para $L = \frac12$ , por lo que este es el valor de $L$ tomaremos (también podemos haber tomado un valor mayor para $L$ como $L=1$ en cuyo caso obtendremos un resultado también válido pero no tan nítido).

Encontrar a M

Lo necesitamos para satisfacer $|y''(x)| \le M$ . Ya que conocemos la solución exacta, $y(x) = \exp(\frac12x)$ sabemos que $y''(x) = \frac14\exp(\frac12x)$ y así $|y''(x)| \le \frac14$ en el intervalo $x \in [0,1]$ . Sin embargo, para la mayoría de las ecuaciones no conocemos la solución exacta, así que hagamos como si no la conociéramos. Entonces lo que podemos hacer es lo siguiente: diferenciar la ecuación diferencial $y'(x) = \frac12 y$ para conseguir $y''(x) = \frac12 y'$ y luego sustituir la ecuación diferencial en ella para obtener

$$y''(x) = \frac12 \cdot \frac12 y = \frac14y.$$

Sabemos que la solución numérica dada por el método de Euler es una secuencia decreciente para este ejemplo, por lo que $y\le1$ y por lo tanto $|y''(x)| \le \frac14$ (como hemos encontrado antes).

Conclusión:

Por lo tanto, podemos tomar $L = \frac12$ y $M = \frac14$ en el límite de error.