(Verdadero o falso) $X,Y$ son variables aleatorias discretas

Question

Con $P(x=1)>0$ y $P(x=2)>0$ . Supongamos que $P(y=1\mid x=1)=3/4$ y $P(y=2\mid x=2)=3/4$ . Entonces $X$ y $Y$ no pueden ser independientes.

Mi idea es suponer que es independiente, entonces $P(Y\cap X)=P(X)P(Y)$ y por lo tanto se cancela con el denominador, entonces $P(Y_1)=P(Y_2)=3/4$ , lo cual es imposible.

Answer 1

Si $\mathbb P(Y = 1 | X=1)$ no depende de la condición $X=1$ entonces deberíamos tener $\mathbb P(Y=1 | X=1) = \mathbb P(Y=1) = 3/4$ y de manera similar $\mathbb P(Y=2 | X=2) = \mathbb P(Y=2) = 3/4$ . Pero entonces $\mathbb P(Y \in \{ 1,2 \}) = \mathbb P(Y=1) + \mathbb P(Y=2) = 3/4 + 3/4 = 3/2$ , contradiciendo el hecho de que $\mathbb P$ es una probabilidad porque las probabilidades están en el intervalo $[0,1]$ .

Usted estaba en el camino correcto con su $\mathbb P(Y \cap X) = \mathbb P(Y) \mathbb P(X)$ pero cuidado, hay que calcular la probabilidad de eventos (como $\{ Y=1 \}$ o $\{Y \le 0 \}$ ) y no de variables (como $\mathbb P(Y)$ que no tiene sentido). Probablemente ahí es donde te has quedado atascado, supongo. No tiene sentido "intersecar variables", pero intersecar eventos (que son conjuntos) tiene sentido. Ten en cuenta que $\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(A) \mathbb P(B)$ equivale a $$ \mathbb P( A | B) = \frac{\mathbb P( A \cap B ) }{\mathbb P(B)} = \mathbb P(A). $$ Espero que eso ayude,