Funciones theta de Jacobi generalizadas - Expansión en serie de Laurent de H(w,q,S).

Question

¿Puede alguien ayudarme con los pasos que faltan en la prueba de la "proposición 3" en el artículo de M. Kaneko y D. Zagier ( https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/progmath/129/165/fulltext.pdf , pág. 4). Me cuesta entender esta breve prueba (sólo 3 líneas), la línea 2 a 3 en particular, a saber: $$ H(w, wq, w^{\frac{1}{2}}q\zeta) = -w^{-\frac{1}{24}}\frac{1-w^{-\frac{1}{8}}q^{-\frac{1}{12}}\zeta^{-1}}{1-w^{\frac{1}{8}}q^{\frac{1}{12}}\zeta}H(w, q,\zeta). \tag{2}$$ $$ H(w, wq, w^{\frac{1}{2}}q\zeta) = -w^{-\frac{1}{6}}q^{-\frac{1}{2}}\zeta^{-1}H(w,q,\zeta). \tag{3}$$ Aquí $$ H(w,q,\zeta) := q^{\frac1{24}} \prod_{m=0}^{\infty} {(1-q^{\frac{m}2}w^{\frac{m^2}8}}\zeta)(1-q^{\frac{m}2}w^{-\frac{m^2}8}\zeta^{-1}). $$

Estoy tratando de obtener una expresión para $H(w, w^{\frac{1}{2}}q^{2}, w^{\frac{1}{8}}q\zeta)$ . Para ello necesito entender dicha prueba. Es decir, las dos líneas anteriores.

Gracias de antemano.

¡Shaka!

Answer 1

En realidad se trata de una simplificación del término $$\frac{1-w^{-\frac{1}{8}} q^{-\frac{1}{12}} \zeta^{-1}} {1-w^{\frac{1}{8}}q^{\frac{1}{12}}\zeta}.$$ Todo lo demás queda en la periferia, e ignoro completamente todo lo demás en esta respuesta.

Dejemos que $X$ denotan $$ w^{-1/8} q^{-1/12} \zeta^{-1},$$ de modo que el término puede escribirse $$ \frac{1 - X}{1 - X^{-1}}.$$

Entonces la prueba de $(2)$ a $(3)$ en su OP se desprende de notar $$ \frac{1 - X}{1 - X^{-1}} = \frac{1}{X^{-1}}\frac{1 - X}{X - 1} = - X.$$

Observo que hay una pequeña errata en $(3)$ debe decir $$H(w, wq, w^{\frac{1}{2}}q\zeta) = -w^{-\frac{1}{6}}q^{-\frac{1}{12}}\zeta^{-1}H(w,q,\zeta),$$ donde la diferencia es el exponente $- \frac{1}{12}$ de $q$ .