¿Cómo ver esta integral impropia diverge?

Question

$$\int^\infty_1\frac{1}{x^{1+1/x}}dx$$

Me estoy preparando para los exámenes. También me gustaría saber cuáles son los métodos más utilizados para demostrar que una integral impropia diverge.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_n^\infty\frac1{x^{1+1/x}}\,\mathrm{d}x &\ge\int_n^\infty\frac1{x^{1+1/n}}\,\mathrm{d}x\\ &=nn^{-1/n} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}nn^{-1/n} &=\lim_{n\to\infty}n\lim_{n\to\infty}n^{-1/n}\\ &=\infty\cdot1 \end{align} $$

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Otro enfoque es observar que $x^{1/x}\le e^{1/e}$ .

Answer 2

Sugerencia: Considere la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+1/n}}$$

y aplicar la prueba de comparación de límites y la prueba integral.

Answer 3

Podemos expandir el denominador del integrando

\begin{align} &x^{1+1/x}=x x^{1/x}=x\exp \left( \frac{1}{x} \ln x \right)\\ =& x \cdot \left(1 + \frac{1}{x} \ln x + \frac{1}{2x^2} (\ln x)^2 + \cdots \right)\\ =& x+\ln x + \frac{1}{2x} (\ln x)^2 + O\left( \frac{(\ln x)^3}{x^2} \right) \\ =& O(x). \end{align}

Por lo tanto, la integral impropia diverge.