Suma de dos variables aleatorias continuas

Question

Consideremos dos variables aleatorias independientes $X$ y $Y$ . Sea $$f_X(x) = \begin{cases} 1 x/2, & \text{if $0\le x\le 2$} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ .Let $$f_Y(y) = \begin{cases} 2-2y, & \text{if $0\le y\le 1$} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ . Encuentre la función de densidad de probabilidad de $X + Y$ .

¿Puede alguien mostrarme una solución paso a paso para este problema?

He aplicado este teorema para resolver el problema con un éxito limitado

Answer 1

Dejemos que $Z=X+Y$ . Sabemos que $0\leq Z\leq 3$ pero para la densidad de $Z$ tenemos tres casos a considerar debido a los rangos de $X$ y $Y$ .

Si $0\leq z\leq 1$ :

\begin{eqnarray*} f_Z(z) &=& \int_{x=0}^{z} f_X(x)f_Y(z-x)\;dx \\ &=& \int_{x=0}^{z} (1-x/2)(2-2y)\;dx \\ &=& \left[ 2x-2zx+zx^2/2+x^2/2-x^3/3 \right]_{x=0}^{z} \\ &=& 2z - \dfrac{3}{2}z^2 + \dfrac{1}{6}z^3. \end{eqnarray*}

Si $1\lt z\leq 2$ :

\begin{eqnarray*} f_Z(z) &=& \int_{x=z-1}^{z} f_X(x)f_Y(z-x)\;dx \\ &=& \int_{x=z-1}^{z} (1-x/2)(2-2y)\;dx \\ &=& \left[ 2x-2zx+zx^2/2+x^2/2-x^3/3 \right]_{x=z-1}^{z} \\ &=& \dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{2}z. \end{eqnarray*}

Si $2\lt z\leq 3$ :

\begin{eqnarray*} f_Z(z) &=& \int_{x=z-1}^{2} f_X(x)f_Y(z-x)\;dx \\ &=& \int_{x=z-1}^{2} (1-x/2)(2-2y)\;dx \\ &=& \left[ 2x-2zx+zx^2/2+x^2/2-x^3/3 \right]_{x=z-1}^{2} \\ &=& \dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{2}z + \dfrac{3}{2}z^2 - \dfrac{1}{6}z^3. \end{eqnarray*}