Ayer encontré esto en Internet:
Dar 3 números no negativos $a,b,c$ que $a+b+c=3$ . Prueba $$ \sum _{cyc} \frac {1}{a^2+b^2+2} \le \frac 34 $$ He intentado resolverlo con AM-GM:
De AM-GM tenemos: $$a^2+b^2+2\ge2(a+b)$$ $$\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+2} \le \frac12\frac1{a+b}$$ $$\Rightarrow \sum _{cyc} \frac {1}{a^2+b^2+2} \le \frac12\sum_{cyc}\frac{1}{a+b}$$ Tenemos que demostrar $$\frac12\sum_{cyc}\frac{1}{a+b}\le\frac34$$ o $$\sum_{cyc}\frac{1}{a+b}\le\frac32$$ Sin embargo, la afirmación anterior parece ser falsa. Si $a = 0 , b = 1, c = 2$ : $$\sum_{cyc}\frac{1}{a+b} = 1+\frac13+\frac12=\frac{11}6\gt \frac32$$ ¿Alguien conoce las soluciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Basta con demostrar la siguiente desigualdad $$ \sum\limits_{sic}{\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}} \ge \frac{3}{2} $$ Utilizando a Cauchy, tenemos $$ LHS \ge \frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6} \ge \frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+3} $$ Observe que $ \sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)} \ge ab+bc+ca $ por lo que el último término es mayor que $$ \frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+3} = \frac{3}{2} $$ La conclusión es la siguiente. Nótese que $ a+b+c=3 $ implica $ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=9 $ .
