Rango de un diferencial

Question

Esto es más que nada un control de cordura. Estoy trabajando con el mapa dado por $$F:M_{2\times 2}(\mathbb{R})\rightarrow S_{2\times 2}(\mathbb{R}):A\mapsto A^t J A$$ donde J es la matriz $$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}.$$

Intento demostrar que el conjunto $S = \{A : F(A) = J\}$ es un submanifold liso de $M$ . Sé que tengo que usar el Teorema del Conjunto Regular de Niveles para hacerlo, pero estoy teniendo problemas para mostrar $DF$ tendrá el máximo rango para que las matrices en $S$ (que ya he demostrado que sólo contiene matrices invertibles). Utilizando el isomorfismo canónico en $M_{2\times 2}(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^4$ descrito por $\begin{pmatrix}a_1 & a_2\\ a_3 & a_4\end{pmatrix}\mapsto (a_1,a_2,a_3,a_4)$ y el similar en $S_{2\times 2}(\mathbb{R})\cong \mathbb{R}^3$ , he calculado $$F(a_1,a_2,a_3,a_4) = (a_1^2 - a_3^2, a_1a_2 - a_3a_4, a_2^2 - a_4^2)$$ lo que nos da que $$DF = \begin{pmatrix} 2a_1 & 0 & -2a_3 & 0\\ a_1 & a_2 & -a_3 & -a_4\\ 0 & 2a_2 & 0 & -2a_4\end{pmatrix}.$$

Mi problema es que creo que esta matriz nunca puede ser de rango completo ya que la fila central siempre se puede eliminar. ¿He hecho algo mal aquí? ¿Puede alguien verificar para mí bajo qué condiciones $DF$ ¿sería sobreyectiva?

Answer 1

De forma algo más abstracta (en lugar de recurrir a las coordenadas):

Tenga en cuenta que $df_A(B) = B^\top JA + A^\top JB$ . Dada una matriz simétrica arbitraria $C$ queremos encontrar $B$ para que $df_A(B) = C$ . Como ya ha observado que cualquier $A\in f^{-1}(J)$ debe ser invertible, toma $$B = \tfrac12 J(A^{-1})^\top C,$$ y comprobar que $df_A(B) = C$ , según se desee.

La ventaja de este tipo de enfoque es que funcionará bien en dimensiones superiores, mientras que el enfoque por coordenadas es muy incómodo.

Answer 2

Ok, sólo quería añadir un post mostrando otra forma de responder a esta pregunta que está más en línea con la estructura publicada en la propia pregunta. Esta NO es una solución elegante como la proporcionada anteriormente por Ted Shifrin (¡Gracias de nuevo!), pero creo que podría ser útil para algunas personas que vean esto más adelante para tener ambos métodos disponibles para ellos.

De todos modos, la matriz para $DF$ que se proporciona arriba es errónea. La matriz correcta para el diferencial viene dada por $$DF = \begin{pmatrix} 2a_1 & 0 & -2a_3 & 0\\ a_2 & a_1 & -a_4 & -a_3\\ 0 & 2a_2 & 0 & -2a_4 \end{pmatrix},$$ y para utilizar el Teorema del Conjunto Regular de Niveles, necesitamos el mapa $DF$ sea suryente, lo que equivale a la representación matricial de $DF$ que tiene el máximo rango (3 en este caso). Hay dos maneras de que la matriz anterior baje de rango: o bien eliminamos la fila del medio, o bien eliminamos las dos columnas de la derecha. Usando las operaciones de fila podemos ver que un intento de reducir la fila del medio resultaría en la matriz $$\begin{pmatrix} 2a_1 & 0 & -2a_3 & 0\\ 2(a_1 + a_2) & 2(a_1 + a_2) & -2(a_3 + a_4) & -2(a_3 + a_4)\\ 0 & 2a_2 & 0 & -2a_4 \end{pmatrix}$$ que bajará de rango precisamente cuando $a_1 = -a_2$ y $a_3 = -a_4$ $(*)$ . Del mismo modo, un intento de reducir las dos columnas de la derecha dará como resultado la matriz $$\begin{pmatrix} 2a_1 & 0 & 2(a_1 - a_3) & 0\\ a_2 & a_1 & a_2-a_4 & a_1-a_3\\ 0 & 2a_2 & 0 & 2(a_2 - a_4) \end{pmatrix}$$ que bajará de rango cuando $a_1 = a_3$ y $a_2 = a_4$ $(**)$ . Si una matriz $A$ satisface $(*)$ o $(**)$ Tendremos que $\det(A) = 0$ Así que, mientras todas las matrices $A$ que cumplen la condición $A^tJA = J$ no tienen determinante 0, tendremos que $J$ es un valor regular y el conjunto $S = \{A : A^tJA = J\} = F^{-1}(J)$ es un conjunto de niveles regulares. Esto resulta ser así, como se puede comprobar utilizando las propiedades del determinante, por lo que $S$ es una submanifold lisa por el Teorema del Conjunto Regular de Niveles como se desea.