Dejemos que $X \to B$ sea un mapa suave, propio y dominante de esquemas sobre $\text{Spec }k$ un campo algebraicamente cerrado de característica cero con $B$ integral. Tenemos la fibra genérica $\overline{F}$ definido sobre $\text{Spec }\overline{K(B)}$ y por el cambio de base a lo largo de $\text{Spec }\overline{K(B)} \to \text{Spec }k$ obtenemos un mapa $\overline{X} \to \overline{B}$ de manera que ahora podemos escribir la secuencia $\overline{F} \to \overline{X} \to \overline{B}$ . ¿Hasta qué punto es un haz de fibras? Para hacer una pregunta definitiva, ¿existe algún mapa etale $\overline{B}' \to \overline{B}$ de tal manera que si se retira se obtendrá un isomorfismo $\overline{X}' \simeq \overline{F}' \times \overline{B}'$ ?
Esta cuestión está estrechamente relacionada con La planitud en la geometría algebraica frente a la fibración en la topología y ¿Es una fibra algebraica geométrica también una fibra algebraica topológica? . En particular, está motivado por (1) el teorema de Ehresmann de que localmente analítico tal morfismo debería ser un haz de fibras (topológico) y (2) el pensamiento difuso de que "localmente analítico" debería significar "después de un cambio de base etale", pero me parece que la respuesta a la pregunta que planteé arriba es probablemente negativa. Por ejemplo, me parece poco probable que dos hipersuperficies lisas de grado $d$ en $\mathbb{P}^n$ que son (automáticamente) difeomorfos pero no isomorfos deberían convertirse repentinamente en isomorfos tras un cambio de base etale. Sin embargo, no conozco ninguna forma más débil de afirmar algebro-geométricamente la condición de que algún mapa sea un haz de fibras, sin embargo -- ¿hay algo entonces que podamos decir algebro-geométricamente con respecto a los mapas anteriores, o tenemos que contentarnos con la afirmación diferencial-geométrica de que es un haz de fibras en esa categoría?
