Encontrar la varianza de cuadratura de una superposición de estados coherentes comprimidos

Question

¿Cómo se encuentra la varianza de cuadratura de un estado $$\lvert x\rangle =\lvert a,b\rangle +\lvert a,-b\rangle$$ donde $\lvert a,b\rangle = D(a) S(b) \lvert 0\rangle$ ?

$\lvert x\rangle$ es una superposición de estados coherentes comprimidos.

Answer 1

Empezando por la expresión para $S(z)$ que tenemos:

$\hat{S(b)} = e^{b\hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - b^* \hat{a}\hat{a}}$

Mediante la siguiente fórmula del BCH:

$e^BAe^{-B} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] ...$

Podemos ver que, como $ [\hat{a}, \hat{a}^\dagger]=1:$ $\hat{S(b)} \hat{a} \hat{S(b)}^\dagger = \hat{a}cosh(r) + \hat{a}^\dagger e^{i\theta} sinh(r)$

Y una expresión similar para $\hat{a}^\dagger$ .

También podemos hacer lo mismo para $\hat{D(a)} = e^{a\hat{a}^\dagger - a^* \hat{a}}$ . Aquí el conmutador [B,A] será una constante y la serie tendrá sólo dos términos distintos de cero.

$\hat{D(a)} \hat{a} \hat{D(a)}^\dagger = \hat{a} + a$

A continuación, utilizamos la unitaridad de estos operadores para conseguir:

$\hat{a} \hat{D(a)} \hat{S(b)} \lvert 0 \rangle = \hat{D(a)} (\hat{a} + a) \hat{S(b)} \lvert 0 \rangle$

$= a\hat{D(a)} \hat{S(b)} \lvert 0 \rangle + e^{i\theta} sinh(r) \hat{D(a)} \hat{S(b)} \hat{a}^\dagger \lvert 0 \rangle $

...

Tenemos expresiones de cómo $\hat{a}$ y $\hat{a}^\dagger$ actuar $ \lvert a,b\rangle$ :

$$ \hat{a} \lvert a,b\rangle = a\lvert a,b\rangle + e^{i\theta} \sinh(r)D(a) S(b) \hat{a}^\dagger \lvert 0\rangle $$

$$ \hat{a}^\dagger \lvert a,b\rangle = a^* \lvert a,b\rangle + \cosh(r)D(a) S(b) \hat{a}^\dagger \lvert 0\rangle $$

...

Utilizando las definiciones de cuadratura, y sus respectivas variantes:

$$\sigma^2_q = \langle q^2\rangle_x - \langle q\rangle^2_x = \frac{1}{2} \left[\langle x \rvert (\hat{a}^2 + \hat{a}\hat{a}^{\dagger} +\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \hat{a}^{\dagger2}) \lvert x \rangle - \langle x \rvert (\hat{a} + \hat{a}^{\dagger}) \lvert x \rangle ^2\right] $$