Coordenadas vs geometrías: ¿Cómo podemos conocer dos sistemas de coordenadas describen la geometría del mismo?

Question

Específicamente, estoy pidiendo esto porque me estoy tomando una clase en la Relatividad General, y en Hartle el libro de la Gravedad, en Ch. 12, después de haber pasado algún tiempo el uso de las coordenadas de Schwarzschild, nos introduce a dos nuevos sistemas de coordenadas, el Eddington-Finkelstein coordenadas y el test de Kruskal-Szekeres coordenadas.

El libro afirma que los tres de estas coordenadas son sólo diferentes coordinar las representaciones del mismo espacio-tiempo de la geometría. ¿Cómo hace uno para probar esta afirmación, especialmente desde que las coordenadas no se ni remotamente se comportan de forma idéntica (por ejemplo: al $r=2M$ en las coordenadas de Schwarzschild, el sistema parece volar, pero en realidad el problema es con su representación en coordenadas de Schwarzschild)? Obviamente, no tendría sentido tener 3 diferentes sistemas de coordenadas si todos ellos se comportan de forma idéntica en todas partes, pero estoy teniendo dificultades para la conciliación de estos distintos comportamientos como todo ser diferentes descripciones de la misma la geometría del espacio-tiempo.

Answer 1

En general, no se puede saber si dos sistemas de coordenadas que describen la misma geometría.

Esto es un poco sorprendente resultado, pero se trata de varios computabilidad de los resultados sobre el decidability de la equivalencia de las expresiones: yo creo que la clave es la de Richardson teorema que dice que es indecidible, en general, si dos expresiones son equivalentes, incluso si esas expresiones son sólo ligeramente complicado (sin duda el tipo de expresiones que se producen en la práctica son bastante complicada). Esta es la razón, por ejemplo, la simplificación de álgebra computacional de sistemas es difícil (y que no es posible en general).

Así que, en general, dados dos sistemas de coordenadas, con la métrica expresada en cada sistema, usted no puede saber si representan la misma geometría. O para ser más precisos, no existe ningún algoritmo que digo esto (tal vez un humano podría saber por arte de magia o algo así).

Esto se ha convertido en la materia en el pasado. En particular, en GR, existe el problema de la enumeración y clasificación de las soluciones exactas a las ecuaciones de campo: dada una solución de (expresado como un sistema de coordenadas y una métrica), ¿cómo saber si en realidad es una nueva solución, o si es un viejo vestido en nuevas coordenadas? Así, en general, no se puede saber.

Pero, por supuesto, en muchos casos, usted puede saber, y existe un considerable esfuerzo en la década de 1980 para el diseño de herramientas que, dadas dos soluciones, sería tratar de deducir si fueran lo mismo, a veces con un poco de intervención manual. He trabajado un poco en algunas de estas herramientas.

Nota, lo que yo soy no diciendo es que usted puede nunca saber: muy a menudo, usted puede: estoy diciendo que usted no puede siempre saber, porque hay que detener la problema, y además, que esto puede importar.

Un caso muy bueno cuando se puede saber es donde se le da una asignación explícita de un sistema de coordenadas a otro, por supuesto: usted puede comprobar lo que sucede a la forma de la métrica en ese caso, y comprobar que es la misma como la forma en que el nuevo sistema de coordenadas. El problema surge cuando no se sabe la asignación.

Hay una página de la Wikipedia sobre las soluciones exactas que probablemente tiene algunas buenas referencias. En particular, tengo la sospecha de que las Soluciones Exactas de las Ecuaciones de Campo de Einstein (2da ed.) por Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E es una buena referencia, aunque yo no tengo una copia.

Answer 2

Afortunadamente las cosas no son tan desesperada como @tfb describe. Su respuesta es muy general y puede ser dado de verbatim - casi -para cualquier problema es cualquier formalizado la disciplina.

En esta área específica de un algoritmo que puede distinguir entre 2 colectores: Cartan–Karlhede algoritmo.

En términos simples, si desea comparar dos tablas/atlas de comprobar escalar invariantes tales como el escalar de Ricci o la Kretschmann escalar. Si cualquiera de estos escalares son claramente diferentes de una tabla a la otra, entonces los colectores son claramente diferentes.

Si utiliza un CAS (Mathematica, por ejemplo), calcular el invariantes para 2 tablas diferentes de la misma métrica y parcela para los diferentes rangos de coordenadas. Usted verá que las parcelas son el mismo. En realidad, la inversión de - al menos a nivel local - una invariante, usted puede encontrar la relación funcional entre las 2 tablas.

Para más detalles puedes consultar:

http://physics.stackexchange.com/a/167838

y también:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartan%E2%80%93Karlhede_algorithm

Answer 3

Una coordenada cambiar sólo asciende a un diffeomorphism. La geometría es sin cambios por diffeomorphisms. Puesto que la geometría es lo que es la física, la física es sin cambios por diffeomorphisms así. Diferentes sistemas de coordenadas nos permiten extraer información de manera conveniente, sino son todos equivalentes.

Answer 4

En un sentido es obvio que hay diferentes descripciones de los mismos fenómenos; supongamos que te caiga una manzana en frente de usted, a continuación, mueva a la izquierda - nada, tan lejos como la física de la caída de apple se refiere, ha cambiado

Si usted describe dos situaciones en las coordenadas, a continuación, las dos descripciones serán diferentes, pero describen la misma física; así que creo que hay alguna manera de relacionar las dos descripciones.

Matemáticamente, esto es un cambio de coordenadas; y esta es la forma en vectores y tensores se clásicamente se describe.

Por ejemplo, contravariante se transforma en tal y cual manera; y así sucesivamente para coviant vectores, tensores y densidades; matemáticamente podemos decir que esta es la descripción local.

En geometría diferencial se define la tangente, la cotangente, tensor y forma de paquetes a nivel mundial; a continuación, tomando secciones obtenemos el campo correspondiente, es decir un (tangente) vector de campo, o un simétrica 2-tensor de campo, también conocido como una métrica.

Si uno toma dos secciones superpuestas, a decir de un tensor, y mirar a sus propiedades de transformación; de estos, será la misma que la descripción clásica de un tensor, es decir, un tensor de tipo p,q transforma en tal y tal manera.

Por último, no podemos decir a partir de una única transformación en un solo parche toda la geometría, pero la descripción habitual de tales implícitamente nos da un atlas de parches, y podemos unirlos para obtener el colector y el paquete de la estructura. Normalmente, esto se deja implícita, pero la parte introductoria de una geometría diferencial de texto normalmente los hechizos de esto en detalle. Véase, por ejemplo, Michors texto Naturales de las Operaciones en el colector y paquete de atlas.