$f (x) = 1$ si el dígito $9$ aparece en la representación decimal de $x$ y $f (x) = 0$ de lo contrario - demuestre que $f$ es continua

Question

La función $f : [0, 1] \to \Bbb R$ , donde $f (x) = 1$ si el dígito $9$ aparece en la representación decimal de $x$ y $f (x) = 0$ de lo contrario. Utilizamos una representación decimal que no termina en repetición $9$ s.

Demuestra que $f$ es continua en $x$ si y sólo si $f (x) = 1$ .

(Utilizar sólo $\varepsilon$ , $\delta$ definición de continúa. No se permite el uso de límite).

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Intuitivamente sé que si $x$ es un decimal que aparece $9$ entonces podemos encontrar otro decimal en cualquier vecindad con la misma propiedad. si no entonces de nuevo podemos encontrar otro decimal en cualquier vecindad que aparezca $9$ . Pero cómo escribirlo formalmente no pude. Después de varios días me rendí. En realidad entiendo la idea básica. Pero no pude escribir formalmente nada. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

El conjunto de números con un $9$ en la representación decimal es denso en $[0, 1]$ (sólo hay que sustituir el $n$ -dígito por $9,$ para algunos altos $n.$ ) Esto demuestra que la función es no continua si es $0.$ Por otro lado, el conjunto de números que no tener un nueve no es denso (un número que tiene un nueve en la $k$ -lo tendrá si es perturbado por algo más pequeño que $10^{-k-2}.$ )

Answer 2

Un enfoque más elemental,

En primer lugar, dejemos que $f(x)= 0$ entonces, es decir $x = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x_i}{10^i}$ donde $x_{i}\neq 9$ , $\forall \ i$ . Entonces, para cada $\epsilon >0 $ existe un número suficientemente grande de $i_0$ tal que, $y := \sum_{i=1}^{i_0 - 1} \frac{x_i}{10^i} + \frac{9}{10^{i_0}} + \sum_{i=i_0}^{\infty} \frac{x_i}{10^i}$ es $\epsilon$ -cerca de $x$ pero $f(y)=1$ . Así que, efectivamente $f$ no es continua en $x$ donde $f(x)=0$ .

Ahora dejemos que $f(x)=1$ . Entonces $9$ aparece en su representación decimal y considera $i_1\geq 1$ tal que $9$ aparece por primera vez en su expansión decimal, es decir $x = \sum_{i=1}^{i_1 - 1} \frac{x_i}{10^i} + \frac{9}{10^{i_1}} + \sum_{i=i_1}^{\infty} \frac{x_i}{10^i}$ , donde $x_i\neq 9$ para todos $1\leq i < i_1$ . Entonces para $\epsilon_1 < \frac{9}{10^{i_1 +1}}$ tenemos que cada $y$ es decir $\epsilon_1$ -en $x$ tiene $9$ en su expansión decimal y más precisamente $y_i = x_i$ para (al menos) todos los $1\leq i \leq i_1$