Encontrar todos los polinomios $P$ para lo cual $(P(x)-x)\mid P^{(n)}(x)-x$

Question

$n\gt1$ es un número natural fijo. Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes complejos para los que $(P(x)-x)\mid P^{(n)}(x)-x,$ donde $P^{(n)}()$ es el $n$ iteración: $P^{(1)}(x)=P(x)$ y $P^{(i+1)}(x)$ = $P(P^{(i)}(x))$ .

Lo que he probado hasta ahora : He probado $P(x)-x$ no tiene ninguna raíz doble y el problema es equivalente a resolver $P(x)-x\mid P^{'}(x)^{n}-1$

Answer 1

Si $r$ es una raíz de $P(x)-x$ de orden $m$ es decir $P(x) = x + O((x-r)^m)$ como $x \to r$ Entonces Yo reclamo $P^{(n)}(x) = x + O((x-r)^m)$ también. Esto debería poder demostrarse por inducción sobre $n$ . Por lo tanto, todas las raíces de $P(x) - x$ son raíces de $P^{(n)}(x) - x$ con la misma o mayor multiplicidad. Concluimos que $P(x) - x$ siempre divide $P^{(n)}(x) - x$ .

Answer 2

Escriba $$P[x,y]=\frac{P(x)-P(y)}{x-y}$$ $$P_1(x)=P[x,P(x)]\text{.}$$

Entonces $$P^{\circ n}(x)-x=\left(\sum_{k=0}^{n-1}\prod_{i=0}^{k-1}P_1(P^{\circ i}(x))\right)(P(x)-x)$$ testigos $$P(x)-x\mid P^{\circ n}(x)-x\text{.}$$

En particular, el anillo de escalares es irrelevante.