Pregunta sobre la continuidad y diferenciabilidad de las funciones min() y max().

Question

Pregunta: $f(x)=x^2-2|x|$ . Pruebe la continuidad de $g(x)$ en el intervalo $[-2,3]$ si $g(x)$ se define como:

intente : $f(x)$ se define como:

Pero me resulta difícil de entender $g(x)$ . Generalmente en $min()$ se dan dos o más funciones y, mediante el uso de gráficos, se puede evaluar fácilmente la función. ¿Pueden ayudarme en la evaluación? $g(x)$ ? (el resto de la pregunta es fácil)

Answer 1

Tal vez quede más claro con un ejemplo.

Dejemos que $x=-1$ . Tenemos $-2\leq -1 <0$ por lo que aplicamos el primer caso: $g(x)=\min\{f(t)\, , -2\leq t\leq -1\}$ . $\forall t\in[-2,-1], f(t)=t^2+2t$ . El mínimo de $t^2+2t$ en el intervalo $[-2,-1]$ es $-1$ (Te dejo que lo pruebes). Por lo tanto, $g(-1)=-1$ .