infimo de una secuencia

Question

Estoy tratando de probar: $\inf\{|s_n| : n \in \mathbb{N}\} > 0$ . En el sitio web $s_n \neq 0 \land \lim s_n \neq 0 \land s = \lim s_n$ . Entiendo que el mínimo es el mayor límite inferior de un conjunto. Mi intuición es la siguiente:

1. $s_n$ converge implica que el mínimo y el supremo existen ya que hay un número finito de puntos fuera del intervalo de convergencia $L-\epsilon < s_n < L +\epsilon$ .
2. Desde $s_n \neq 0$ Entonces el valor absoluto del infimo es mayor que $0$ .

Corríjanme si me equivoco. No tengo ni idea de cómo formalizar esto, aparte de:

Dejemos que $\epsilon = \dfrac{s_n}{2}$ entonces desde $s_n \to s$ podemos escribir:

$|s_n -s| < \dfrac{|s|}{2}$ Por la definición del límite

Así, para $n > N \implies |s_n| > \dfrac{s}{2}$ Estamos en nuestro intervalo de convergencia

Por lo tanto, hay un número finito de puntos menores que $\dfrac{|s|}{2}$ y $\inf\{s_N\} \neq 0$ . Por lo tanto, el infimo de $|s_n|$ debe ser mayor que $0$

Answer 1

A continuación suponemos que $s_n\ne 0$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Sea $\displaystyle s=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n\ne 0$ . Entonces $$ \lim_{n \rightarrow \infty}|s_n|=|s|>0. $$ Dejemos que $\displaystyle\varepsilon =\frac{|s|}{2}$ . Entonces existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $$ ||s_n|-|s||<\frac{|s|}{2} \quad \forall n\geq N. $$ Por lo tanto, $$ |s_n|>\frac{|s|}{2} \quad \forall n\geq N. $$ Dejemos que $$\bar{s}=\min\left\{|s_1, |s_2|, \ldots, \frac{|s|}{2}\right\}>0,$$ entonces $|s_n|\geq \bar{s}$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Así que $$ \inf\{|s_n|:\in\mathbb{N}\}\geq \bar{s}>0. $$

Nota. Si existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $s_{n_0}=0$ entonces $$ 0\leq \inf\{|s_n|: n\in \mathbb{N}\}\leq |s_{n_0}|= 0, $$ lo que implica que $$ \inf\{|s_n|: n\in \mathbb{N}\}=0. $$