Cohomología de Bott-Chern y mapas naturales

Question

¿Alguien sabe cómo probar la siguiente afirmación?

Sea X una variedad compleja. Definamos la cohomología de Bott-Chern como $$H^{p,q}_{BC}(X) := \frac{ \{ \alpha \in \mathcal{A}^{p,q} | d\alpha = 0 \}}{\partial \overline{\partial}\mathcal{A}^{p-1,q-1}(X)}.$$ Demostrar que existen mapas naturales $$H^{p,q}_{BC}(X) \rightarrow H^{p,q}(X) \text{ and }H^{p,q}_{BC} \rightarrow H^{p+q}(X, \mathbb{C}).$$

Esto es también parte de un ejercicio en "Complex Geometry: An Introduction" (2.6.7) y ya dejé claro que la definición de la cohomología de Bott-Chern tiene sentido.

Entonces, ¿alguien conoce una prueba de esta afirmación? Me interesaría mucho.

Answer 1

Voy a suponer $H^{p,q}(X)$ es la cohomología de Dolbeault de $X$ y que $H^{p+q}(X)$ es la cohomología de De Rham.

Sólo necesitaremos las nociones de independencia lineal, y que si $U \subset V \subset W$ son espacios vectoriales, entonces existe un morfismo lineal natural $W/U \to W/V$ .

Si $\alpha$ es un suave $(p,q)$ -forma, entonces $d\alpha$ es la suma de los $(p+1,q)$ -forma $\partial \alpha$ y el $(p,q+1)$ -forma $\bar\partial \alpha$ . Si $d\alpha = 0$ Por lo tanto, concluimos que $\bar\partial \alpha = 0$ por la independencia lineal de $(p+1,q)$ y $(p,q+1)$ -formas. También hay una clara inclusión $\partial \mathcal{A}^{p-1,q-1}(X) \subset \mathcal{A}^{p,q-1}(X)$ . Obtenemos así dos morfismos $$ H^{p,q}_{BC}(X) \to \frac{\operatorname{Ker}(\bar\partial :\mathcal{A}^{p,q}(X) \to \mathcal{A}^{p,q+1})}{\partial\bar\partial \mathcal{A}^{p-1,q-1}(X)} \to \frac{\operatorname{Ker}(\bar\partial :\mathcal{A}^{p,q}(X) \to \mathcal{A}^{p,q+1})}{\operatorname{Im}(\bar\partial : \mathcal{A}^{p,q-1}(X) \to \mathcal{A}^{p,q})} = H^{p,q}(X), $$ cuyo compuesto es el morfismo que buscamos.

Del mismo modo, vemos que si $v = \partial \bar\partial u$ para un $(p-1,q-1)$ -forma $u$ entonces $v = d(\frac12 \bar\partial u - \frac12 \partial u)$ Así que $v = dw$ para una suave $(p+q-1)$ -forma $w$ . Así obtenemos el mapa $$ H^{p,q}_{BC}(X) \to H^{p+q}(X). $$