Visualización de un orbifold específico

Question

Dejemos que $1 < k \in \mathbb N$ y $M = \{(z_1, z_2) \in \mathbb C^2 : k|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\}$ . Sea $S^1$ actuar $M$ a través de $e^{i\theta}(z_1,z_2) = (e^{ik\theta} z_1, e^{i\theta} z_2)$ . Entonces me dicen que $M/S^1$ no es un colector (obsérvese que la acción no es libre como $e^{2\pi i/k}$ estabiliza los puntos de la forma $(z_1,0)$ ).

Tengo problemas para ver por qué esto falla para ser un colector (supongo que falla para ser localmente $\mathbb R^2$ en los puntos $(z_1,0)$ ). He leído que este espacio tiene una singularidad cónica y me preguntaba si alguien podría explicar cómo ver esto visualmente.

Gracias.

Answer 1

Se puede parametrizar el colector tridimensional $M$ por la magnitud de $z_1$ o $z_2$ y los dos argumentos de $z_1$ y $z_2$ . Llamemos al de $z_1$ y $z_2$ cuya magnitud utilizamos para la parametrización $z$ y el otro $z'$ . Se puede visualizar esta parametrización utilizando el volumen encerrado por un toroide, con la magnitud de $z$ correspondiente a la distancia del anillo central, el argumento de $z$ correspondiente al ángulo con respecto al anillo central (el ángulo poloidal) y el argumento de $z'$ correspondiente al ángulo con respecto al eje del toro (el ángulo toroidal). Es decir, con los parámetros utilizados en el artículo de Wikipedia sobre el toroide la magnitud de $z$ es $r$ el argumento de $z$ es $v$ y el argumento de $z'$ es $u$ .

Para ver lo que ocurre en los dos interesantes barrios de los alrededores $z_1=0$ y $z_2=0$ podemos utilizar el toro apropiado donde $z$ es el de $z_1$ y $z_2$ que se acerca a cero. Tratando primero con $z_1$ cerca de $0$ (y por lo tanto $z=z_1$ , $z'=z_2$ ), las órbitas de la acción dada de $S^1$ son espirales que giran alrededor del anillo central $k$ veces antes de volver al mismo punto. Podemos elegir cualquier disco definido por algún valor de $u$ como el conjunto de representantes de estas órbitas, y ver que el espacio de estas órbitas tiene la estructura de colector de un disco ordinario.

Por otro lado, si $z_2$ está cerca $0$ (y por lo tanto $z=z_2$ , $z'=z_1$ ), las órbitas vuelven a ser espirales que giran alrededor del anillo central, pero esta vez, sólo giran alrededor del anillo $1/k$ veces antes de volver al mismo valor de $u$ y sólo volver al mismo punto después de dar la vuelta al eje del toro $k$ tiempos. Si ahora elegimos cualquier disco definido por algún valor de $u$ contiene $k$ representantes de cada órbita. Así, el espacio de estas órbitas tiene la misma estructura que el cociente del disco respecto al grupo cíclico de rotaciones generado por una rotación alrededor del origen a través de $2\pi/k$ . La singularidad cónica que surge de esto se describe aquí para el caso $k=2$ . Nótese que sólo es una singularidad en la estructura diferenciable, no en la estructura topológica, ya que el cono es topológicamente una variedad bidimensional en el origen.