Número de matrices con determinante 1

Question

$S$ es una colección de $ 3 \times 3 $ Matrices con entradas $0$ y $1$ números reales. Hay que demostrar que el número de matrices en $S$ que tiene exactamente el determinante $1$ es igual al número de matrices con determinante $-1$ . Cómo la biyección de estos subconjuntos de $S$ ¿se puede definir? Precisamente una biyección de $S_1$ y $S_2$ debe definirse donde $S_1$ es el conjunto de Matrices en $S$ que tiene exactamente el determinante $1$ y $S_2$ es el conjunto de Matrices en $S$ que tiene exactamente el determinante $-1$ . ¿Funcionaría el mapeo de elementos diagonales a elementos anti diagonales? Esto funciona para la matriz identidad.

Answer 1

Una pista: Cuando se intercambian 2 filas de una matriz, sus determinantes son negativos entre sí.

Una pista: Cuando 2 filas de una matriz son idénticas, el determinante es 0.

Por lo tanto, podemos crear la biyección.

Answer 2

Por la expansión de Laplace: $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}- a_{21}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}+ a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ a_{22}&a_{23} \end{vmatrix}\\ $$ Cada $2\times 2$ determinante puede ser $-1,0$ o $1$ . Así puede ser cada término. Los casos adecuados son: $$1) \ 0-0+1\\ 2) \ 1-0+0\\ 3) \ 1-1+1\\ 4) \ -1+1+1\\ 5) \ 1+1-1 $$ Para el caso 1: $$a_{31}=a_{12}=a_{23}=1, \ a_{13}\cdot a_{22}=0$$ Entonces, el determinante es $-1$ cuando: $$a_{31}=a_{13}=a_{22}=1, \ a_{12}\cdot a_{23}=0$$ Todos los demás elementos serán los mismos para ambos determinantes $1$ y $-1$ .

Los demás casos se consideran de forma similar.

Answer 3

Bueno, resulta que también puedes hacer cosas como $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} $ con determinante 1.

Así que escribí un pequeño programa para calcular los totales. Obtengo:

count(determinant = -2) = 3
count(determinant = -1) = 84
count(determinant = 0) = 338
count(determinant = 1) = 84
count(determinant = 2) = 3
overall count = 512

Prueba por enumeración. :-) No intentaré enumerarlas aquí.

El programa dice:

#include <stdio.h>

main()
{
    enum { BIAS=10 };
    enum { COUNTS=BIAS*2+1 };
    int counts[COUNTS];
    int count = 0;
    for (int i=0; i<COUNTS; i++) counts[i] = 0;

    for (int a1 = 0; a1<2; a1++) {
    for (int a2 = 0; a2<2; a2++) {
    for (int a3 = 0; a3<2; a3++) {

    for (int b1 = 0; b1<2; b1++) {
    for (int b2 = 0; b2<2; b2++) {
    for (int b3 = 0; b3<2; b3++) {

    for (int c1 = 0; c1<2; c1++) {
    for (int c2 = 0; c2<2; c2++) {
    for (int c3 = 0; c3<2; c3++) {

    int d = a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1;

    counts[d+BIAS]++;
    count++;

    } } }
    } } }
    } } }

    for (int i=0; i<COUNTS; i++) 
    if (counts[i]) 
        printf("count(determinant = %d) = %d\n", i-BIAS, counts[i]);
    printf("overall count = %d\n", count);
}