Dejemos que $G$ sea el conjunto de todos los $2 \times 2$ matrices cuyas entradas son números racionales y cuyo determinante es igual a $3^n$ donde $n$ es un número entero no negativo.
Demostrar que $G$ es un grupo con respecto a la multiplicación de la matriz.
Toma $A,B \in G$ . $A,B$ tienen entradas racionales, y podemos ver que el producto de dos matrices con entradas racionales es una matriz con entradas racionales. Así que $AB$ tiene entradas racionales. Por lo tanto, si $A,B \in G, \: AB \in G$ Por lo tanto $G$ es cerrado bajo la multiplicación.
Por último, tenemos que demostrar que contiene inversos. Supongamos que $A \in G$ y que $B = A^{-1}$ sea su inversa. Supongamos que $A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j})$ . Sabemos que $AB=I$ . Sabemos que si $i \ne j$ entonces $\sum_{k=1}^{n}{a_{i,k}b_{k,j}=0}$ y si $i=j$ entonces $\sum_{k=1}^n{a_{i,k}b_{k,i}}=1$ . Podemos ver estas ecuaciones como ecuaciones lineales donde el $b_{i,j}$ son las variables y el $a_{i,j}$ son los coeficientes. Por lo tanto, obtenemos que el ( $b_{i,j}$ ) satisfacen $n^2$ ecuaciones lineales. Para resolver estas ecuaciones sólo tenemos que sumarlas y dividirlas por el $a_{i,j}$ . Todos los coeficientes son números racionales por lo que podemos ver que las soluciones de estas ecuaciones también son racionales. Así que la $b_{i,j}$ son racionales. Por lo tanto, la inversa de una matriz con entradas racionales también tiene entradas racionales. Así que $B \in G$ . Por lo tanto, $G$ es un grupo bajo la multiplicación de matrices.
¿Funciona? ¿Debo incluir algo sobre la identidad?
Dejemos que $$H=\{A \in G \mid \det A = 9^m\ \text{for some nonnegative integer m} \}$$ Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .
Esto significa que tenemos que mostrar, $\forall h \in H, \: \forall g \in G$ que $ghg^{-1} \in H$ .
No estoy seguro de cuál es la mejor manera de hacer esto, ¿pensamientos?
Describir el centro del grupo $G$ .
Esto significa que tenemos que mostrar $Z(G) =$ { $z \in G|\forall g \in G, \: zg=gz$ }. No estoy seguro de cuál es la mejor manera de hacer esto, ¿pensamientos?
