Demostración de las propiedades de grupo de $G$ un conjunto de $2 \times 2$ matrices con entradas racionales

Question

Dejemos que $G$ sea el conjunto de todos los $2 \times 2$ matrices cuyas entradas son números racionales y cuyo determinante es igual a $3^n$ donde $n$ es un número entero no negativo.

Demostrar que $G$ es un grupo con respecto a la multiplicación de la matriz.

Toma $A,B \in G$ . $A,B$ tienen entradas racionales, y podemos ver que el producto de dos matrices con entradas racionales es una matriz con entradas racionales. Así que $AB$ tiene entradas racionales. Por lo tanto, si $A,B \in G, \: AB \in G$ Por lo tanto $G$ es cerrado bajo la multiplicación.

Por último, tenemos que demostrar que contiene inversos. Supongamos que $A \in G$ y que $B = A^{-1}$ sea su inversa. Supongamos que $A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j})$ . Sabemos que $AB=I$ . Sabemos que si $i \ne j$ entonces $\sum_{k=1}^{n}{a_{i,k}b_{k,j}=0}$ y si $i=j$ entonces $\sum_{k=1}^n{a_{i,k}b_{k,i}}=1$ . Podemos ver estas ecuaciones como ecuaciones lineales donde el $b_{i,j}$ son las variables y el $a_{i,j}$ son los coeficientes. Por lo tanto, obtenemos que el ( $b_{i,j}$ ) satisfacen $n^2$ ecuaciones lineales. Para resolver estas ecuaciones sólo tenemos que sumarlas y dividirlas por el $a_{i,j}$ . Todos los coeficientes son números racionales por lo que podemos ver que las soluciones de estas ecuaciones también son racionales. Así que la $b_{i,j}$ son racionales. Por lo tanto, la inversa de una matriz con entradas racionales también tiene entradas racionales. Así que $B \in G$ . Por lo tanto, $G$ es un grupo bajo la multiplicación de matrices.

¿Funciona? ¿Debo incluir algo sobre la identidad?

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Dejemos que $$H=\{A \in G \mid \det A = 9^m\ \text{for some nonnegative integer m} \}$$ Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Esto significa que tenemos que mostrar, $\forall h \in H, \: \forall g \in G$ que $ghg^{-1} \in H$ .

No estoy seguro de cuál es la mejor manera de hacer esto, ¿pensamientos?

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Describir el centro del grupo $G$ .

Esto significa que tenemos que mostrar $Z(G) =$ { $z \in G|\forall g \in G, \: zg=gz$ }. No estoy seguro de cuál es la mejor manera de hacer esto, ¿pensamientos?

Answer 1

Una pista: Encuentre un $2\times 2$ matriz con entradas racionales y determinante $3$ . Es el determinante de la inversa de la forma $3^n$ , donde $n\ge 0$ ?

Observación: Si sustituimos $n$ un número entero no negativo por $n$ es un número entero, efectivamente obtenemos un grupo. El problema de tu prueba es que no has utilizado el hecho de que la inversa de un elemento de grupo debe ser un elemento de grupo.