Para las funciones continuas $f_1:X\to Y_1$ y $f_2:X\to Y_2$ probar $f_1\nabla f_2:X\to Y_1\times Y_2$ es continua

Question

Para las funciones $f_1:X\to Y_1$ y $f_2:X\to Y_2$ definir $f_1\nabla f_2:X\to Y_1\times Y_2$ por $(f_1\nabla f_2)(x)=(f_1(x),f_2(x))$ .

Demostrar que $f_1\nabla f_2$ es continua si y sólo si $f_1$ y $f_2$ son continuos.

(Enlace a la imagen que sustituye al texto).

Así que, $f_1\nabla f_2$ es continua, entonces para cada $x$ en $X$ y cada barrio $V$ de $f_1\nabla f_2$ hay un vecindario $U$ de $x$ tal que $f_1\nabla f_2(U)$ contenida en $V$ . Sea $x_1$ sea un punto en $X$ con $y_1=f_1(x_1)$ y $y_2=f_2(x_1)$ .

Elige el barrio $Vy_1$ y $Vy_2$ alrededor de $y_1$ y $y_2$ respectivamente. Ahora tenemos que encontrar una vecindad $Ux_1$ alrededor de $x_1$ tal que $f_1\nabla f_2(x_1)$ contiene $Vy_1$ y $Vy_2$ .

¿Es esto correcto hasta ahora? Si es así, ¿cómo debo proceder? Además, ¿cuál es una buena manera de probar la dirección opuesta?

Answer 1

Puedes demostrar este resultado:

Si $\pi_i: Y_1\times Y_2 \to Y_i$ es la proyección sobre el $i$ -ésimo factor entonces una función $g:X\to Y_1\times Y_2$ es continua si y sólo si $\pi_1\circ g$ y $\pi_2\circ g$ son continuos.

En tu caso tienes que $\pi_1\circ (f_1\nabla f_2)=f_1$ y $\pi_2\circ (f_1\nabla f_2)=f_2 $ que son continuos por lo que $f_1\nabla f_2$ es continua.

Puedes probar los resultados de esta manera:

Si $g$ es continua, entonces $\pi_1\circ g$ y $\pi_2\circ g$ es continua porque $\pi_1$ y $\pi_2$ son continuos.

A la inversa, supongamos que $\pi_1\circ g$ y $\pi_2\circ g$ son continuos. Dejemos que $A=V\times W$ un barrio básico de $Y_1\times Y_2$ .

Entonces $A=\pi_1^{-1}(V)\cap \pi_2^{-1}(W)$ y así

$g^{-1}(A)=g^{-1}(\pi_1^{-1}(V))\cap g^{-1}(\pi_2^{-1}(W))=$

$=(\pi_1\circ g)^{-1}(V)\cap (\pi_2\circ g)^{-1}(W) $

Que está abierto