Cómo expresar una variable aleatoria $V(X)$ función dada $V(x)$

Question

Me he encontrado con una pregunta que dice lo siguiente: Para una variable aleatoria $X$ con la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2 < \infty$ dene la función $V (x) = E((X x)^2)$ donde $'E'$ denota la expectativa. Expresar la variable aleatoria V (X) en términos de $\mu, \sigma^2$ :

Lo que tengo hasta ahora: Soy capaz de calcular $V(x)=\sigma^2+\mu2-2x\mu+x^2$ . La respuesta es $V(X)=\sigma^2+\mu2-2X\mu+X^2$ .

Mi pregunta es por qué no podemos sustituir $X$ directamente en la expresión para $V$ a ge $E((X-X)^2)=0$ ?

Answer 1

En realidad sí: $$V(x)=\int \left(X (\omega)-x\right)^2P(d\omega)$$

Ahora bien, si sustituyo $x=X(\omega)$ entonces esto $\omega$ se convierte en gratis variable en el LHS pero un atado variable (que oscila entre $\Omega$ ) en el lado derecho.

Esto no está permitido.

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La situación es hasta cierto punto comparable con lo siguiente:

Es cierto en $\mathbb R$ que $\forall x\exists y\;[ x<y]$ .

Sin embargo surge algo que no es cierto si sustituimos $x=y+1$ .

Esto se debe a que la variable libre $y$ se coloca en un punto en el que está ligado por el cuantificador $\exists y$ .

Answer 2

$V(x)=E[(X−x)^2]$ es una función de $x$ y variará con $x$ . Claramente es no negativo, y deberías poder demostrar que se minimiza cuando $x=\mu_X^{\,}$ la expectativa (suponiendo que $X$ tiene una media) en cuyo punto $V(x_\mu)$ es $\sigma_X^2$ la varianza de $X$ .

Por lo tanto, si esta varianza es positiva (es decir $X$ no es casi seguramente constante), entonces $V(x)$ será al menos esta cantidad para todos $x$ . En efecto, se puede decir $V(x)=\sigma_X^2 + (x-\mu_X^{\,})^2$

Esto demuestra que (a menos que $X$ es casi seguramente constante) ni $V(x)$ ni $V(X)$ será cero.

Ahora que sabes lo que $V(x)$ es en función de $x$ se puede aplicar a una variable aleatoria. Por lo tanto, tiene sentido hablar de $V(X)$ como función de una variable aleatoria, recordando que ésta también sería una variable aleatoria. Y, en efecto, se tendría $V(X)=\sigma_X^2 + (X-\mu_X^{\,})^2$

Desde $V(X)$ es una variable aleatoria, puedes encontrar su valor esperado. Esto resulta ser $E[V(X)]=2\sigma_X^2$ . Nada de esto se ve afectado por si $X$ es una variable aleatoria discreta o continua, aunque algunas de estas afirmaciones suponen $\sigma_X^2$ y $\mu_X^{\,}$ existe.